ＦＩＧＡＲＣＨ的協(xié)同持續(xù)性研究

【摘要】 波動持續(xù)性是廣泛存在于金融事件序列的一類普遍現(xiàn)象，波動持續(xù)性建模是從動態(tài)的角度研究風(fēng)險變化的一種有效方法。由于分形理論能夠準(zhǔn)確描述經(jīng)濟(jì)行為本身的非線性結(jié)構(gòu)特點，將分形方法引入了協(xié)同持續(xù)研究中，引出了FIGARCH模型，考察了FIGARCH的協(xié)同持續(xù)性。

【關(guān)鍵詞】 金融風(fēng)險;波動性;協(xié)同持續(xù)性;FIGARCH

一、引言

人們在對大量的金融時間序列數(shù)據(jù)的研究中發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化存在不確定性，即經(jīng)濟(jì)變量的均值和方差并不如傳統(tǒng)經(jīng)濟(jì)計量學(xué)假設(shè)那樣是固定不變的，而是隨時間變化的。在這一背景下，以Engle(1982)為代表的大批經(jīng)濟(jì)計量學(xué)家在建立新的能有效描述波動的不確定性的手段和方法方面，得出了豐富的研究成果并在實際應(yīng)用匯總發(fā)揮了重要作用。對不確定性的理論和方法的研究形成了現(xiàn)代金融理論的基礎(chǔ)。

傳統(tǒng)的時間序列和經(jīng)濟(jì)計量模型通常假定序列在某一時間內(nèi)具有常數(shù)方差，如傳統(tǒng)的資本資產(chǎn)定價理論及其模型(CAPM)和套利定價模型(APT)都建立在投資收益和方差為常數(shù)的基礎(chǔ)上，靜態(tài)的處理資產(chǎn)資產(chǎn)的定價問題。這一假設(shè)在實際應(yīng)用中經(jīng)常遭到破壞——人們在對大量的金融時間按學(xué)列諸如股市、匯票以及證券等時間序列數(shù)據(jù)的研究中，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化存在不確定性，即變量的均值和方差并不是如傳統(tǒng)假設(shè)那樣是固定不變的，而是隨時間按變化的，并因此將時間序列的方差的這種時變性稱之為波動性。

現(xiàn)實觀察到的波動性呈現(xiàn)了分?jǐn)?shù)維數(shù)，分?jǐn)?shù)單整模型(FIGARCH)或許能夠更好的描述時變方差的特點，將向量FIGARCH引入?yún)f(xié)同持續(xù)性研究中。

二、FIGARCH模型

定義1:如果一個時間序列yt是穩(wěn)定，則

(1)其均值E(yt)與時間t無關(guān)。

(2)其方差Var(yt)是有限的，并不隨著t的推移產(chǎn)生系統(tǒng)的變化。

(3)自相關(guān)函數(shù)以指數(shù)率衰減。

則該時間序列yt將趨于返回它的均值，以一種相對不變的振幅圍繞均值波動。

定義2:如果一個序列在成為穩(wěn)定序列之前必須經(jīng)過d次差分，則該序列被稱為d階單整(integration)，記為I(d)。換句話說，如果序列yt是非穩(wěn)定序列，而?塄dyt是穩(wěn)定序列，則序列yt是I(d)。其中:?塄yt=yt-yt-1，?塄dyt=?塄(?塄d-1yt)同時平穩(wěn)序列可看出I(0)。

現(xiàn)實中大量的金融時間序列顯示了介于I(0)和I(1)之間的性質(zhì)，即既不表現(xiàn)出完全短記憶如I(0)，也不是未來的變化永遠(yuǎn)依賴于初始值如I(1)，而是雖有記憶但記憶性緩慢衰減，即表現(xiàn)出自相關(guān)函數(shù)呈緩慢衰減變化的特征，因此這些序列不能用傳統(tǒng)的方法進(jìn)行研究。Hosking(1981)就分形差分更一般化了最初的ARIMA(p，d，q)值，得出一個自回歸的，分形維積分移動平均(ARFIMA)過程，即d可以是任何實數(shù)。

分形差分是通過將分差過程分裂為較小的要素，分形差分化試圖將一個連續(xù)過程——分形布朗運動，轉(zhuǎn)變?yōu)殡x散的過程。而整數(shù)差分僅是一個總的逼近，當(dāng)這種簡單的模型被強(qiáng)加在一個現(xiàn)實中的過程之上時，容易導(dǎo)致不正確的結(jié)論。

Baillie等論證，F(xiàn)IGARCH過程的存在可以解釋研究者在高頻金融數(shù)據(jù)中普遍發(fā)現(xiàn)的IGARCH類型為。研究者論證，GARCH(1，1)模型提供了對連續(xù)時間擴(kuò)散過程的一致離散時間近似，并且隨著抽樣間隔趨向于0，兩個GARCH參數(shù)的和趨向于1，從而顯示了IGARCH行為。IGARCH意味著條件方差所受到的沖擊無線持久，這與我們在大幅沖擊后觀察到的持久性不符合。且IGARCH還意味著投資主體將會頻繁和徹底地改變其投資組合的組成部分，這也與觀察到的主體行為不符。時間聚合問題也給IGARCH模型的合理性帶來了疑問。Drost和Nijman說明，IGARCH在高頻生成的過程應(yīng)該延續(xù)到低頻的觀察值，但這似乎與大多數(shù)經(jīng)驗報告結(jié)果不符合。

有了這些反常現(xiàn)象后，Baillie等提出，普遍觀察到的IGARCH行為也許是長久記憶數(shù)據(jù)生成過程的產(chǎn)物，他們還提供了相當(dāng)支持這個論點的模擬實驗。在擬合波動率時，似乎應(yīng)該嚴(yán)肅考慮調(diào)和了穩(wěn)定GARCH與IGARCH的矛盾，更加貼近實際金融時間序列的FIGARCH模型。

定義3:分整GARCH模型，若平穩(wěn)時間序列xt的殘差平方項 ?著t2滿足差分方程 ?準(zhǔn)(L)(1-L)d?著t2=w+[1-?茁(L)]vt，其中0

三、協(xié)同持續(xù)性

從風(fēng)險角度看，持續(xù)性的存在增加了未來資產(chǎn)收益的風(fēng)險，影響了資產(chǎn)的長期定價。反之，如果不存在持續(xù)性，那么對長期投資者來說，當(dāng)前的擾動就可以忽略不計。對厭惡風(fēng)險的投資者來說，波動持續(xù)性是一個必須要考慮的因素。作為經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的子系統(tǒng)，不同金融市場的波動之間可能存在相互影響，波動會從一個市場傳遞到另一個市場，這一現(xiàn)象稱為波動溢出效應(yīng)。波動溢出效應(yīng)可能存在于不同地域的市場之間，也會存在于不同金融品種的市場之間，如股票市場、外匯市場之間等。為了分散、化解金融風(fēng)險，需要對多個資產(chǎn)進(jìn)行組合，進(jìn)行風(fēng)險的對沖，而這要建立在對多個變量波動的相關(guān)分析基礎(chǔ)之上。

向量GARCH模型是研究波動溢出效應(yīng)的主要工具，波動溢出效應(yīng)的研究對于資產(chǎn)組合理論以及金融風(fēng)險的防范具有重要意義。在協(xié)整概念和波動持續(xù)概念的基礎(chǔ)上，Bollerslev和Engle提出協(xié)同持續(xù)的思想，即分量序列之間可能存在一種長期的線性均衡關(guān)系。協(xié)同持續(xù)的實際含義是，如果向量GARCH過程的每一個分量都是持續(xù)的，而向量GARCH過程各分量的某種線性組合卻不表現(xiàn)出持續(xù)性，則稱向量GARCH過程是協(xié)同各持續(xù)的。

定義4:協(xié)同持續(xù)性 多變量隨機(jī)過程{Yt}是關(guān)于方差協(xié)同持續(xù)的，如果{Yt}關(guān)于方差持續(xù)，且存在一個向量?酌∈RN，{Vec2(?酌)}i≠0，i=1，2，…，N(N+1)/2，是的對任意s>0，滿足limsup

t?邛00

?襔Es(r'Htr)-E0(r'Htr)?襔=limsup?襔Vec2(r)'H*t(s)?襔=0。其中

t?邛00

ec2(r)=ec2(rr')-diag(r)diag(r))，diag(·)表示將向量化為對角矩陣。

協(xié)同持續(xù)是一個非常重要的概念。從理論上來講它是協(xié)整概念的擴(kuò)展，協(xié)整概念反映的是時間序列一階矩下的長期均衡關(guān)系，而協(xié)同持續(xù)則反映的是時間序列二階矩(方差與協(xié)方差)意義下的長期均衡關(guān)系，也即協(xié)方差本身的協(xié)整關(guān)系，兩者都反映了時間序列的某種線性均衡關(guān)系，從這個意義上降，協(xié)同持續(xù)概念是協(xié)整概念的擴(kuò)展。

從實際金融分析角度，它告訴我們對于具有風(fēng)險持續(xù)影響的金融過程，在一定條件下可以通過組合配置的方式消除風(fēng)險的持續(xù)影響，并指出如何進(jìn)行相應(yīng)的組合配置來規(guī)避持續(xù)風(fēng)險的影響。此外，研究不同市場之間是否存在波動持續(xù)性，對于了解不同市場之間的驅(qū)動被動關(guān)系，研究金融市場的運行機(jī)制都有重要意義。

定義4中的協(xié)同持續(xù)，僅僅把消除了方差持續(xù)的情況叫做協(xié)同持續(xù)，這樣就無法描述一般的具有不同持續(xù)性的時間序列的協(xié)同關(guān)系，縮小了研究范圍。事實上持續(xù)性的減弱也是有意義的，不應(yīng)把它排除在研究范圍外。現(xiàn)實中的市場中，經(jīng)濟(jì)行為本身體現(xiàn)了非線性結(jié)構(gòu)特點，具有時間的分?jǐn)?shù)維持性和統(tǒng)計上的自相似性質(zhì)，波動的持續(xù)性和信息的相關(guān)性都可以用分形維數(shù)來描述，風(fēng)險持續(xù)性的市場機(jī)制應(yīng)該用分?jǐn)?shù)維的N維向量GARCH模型來說明。FIGARCH或許能更好地描述時變方差的特點，可以將向量FIGARCH引入?yún)f(xié)同持續(xù)性的研究中。

為了討論一般意義下的協(xié)同關(guān)系，有必要將協(xié)同持續(xù)的概念加以擴(kuò)展，即對每個分量的分?jǐn)?shù)維為di(i=1，2，…，n)的n維向量GARCH模型來說，顯然每個分量都具有方差持續(xù)性，但對他們經(jīng)過線性組合后持續(xù)性并不是消除了而是減弱了的這種情況，即組合的維數(shù)降低至d(d

定義5:部分協(xié)同 若對N維隨機(jī)過程{Yt}，存在子集{yt(n)} ，不妨設(shè)為由Yt的前n(>1)個變量(Y1t，Y2t，…，Ynt)T組成的n維隨機(jī)過程符合定義4的要求，而對剩余的N-n個變量，其任何子集構(gòu)成的向量均不符合定義4的要求，則稱{Yt}為關(guān)于波動部分協(xié)同持續(xù)。

當(dāng)考慮到風(fēng)險規(guī)避時，分析協(xié)同持續(xù)關(guān)系，將變量組合以規(guī)避風(fēng)險，體現(xiàn)了風(fēng)險意義上的長期穩(wěn)定，但是事實上，金融時間序列中經(jīng)過整數(shù)或者分?jǐn)?shù)差分后的殘差序列為絕對穩(wěn)定的序列通常是不現(xiàn)實的。因此，引入了定義5，從而FIGARCH的持續(xù)性可以更有效的在研究風(fēng)險規(guī)避中發(fā)揮作用。

四、小結(jié)

波動持續(xù)性現(xiàn)象是人們在研究經(jīng)濟(jì)和金融時間序列中發(fā)現(xiàn)的一種普遍現(xiàn)象，表明當(dāng)前的擾動對今后的波動有一個積聚的影響。從風(fēng)險的角度看，持續(xù)性的存在增加了未來資產(chǎn)收益的風(fēng)險。反之，如果不存在持續(xù)性，那么對長期投資者來說，當(dāng)前的擾動就可以忽略不計。顯然，對厭惡風(fēng)險的投資者來說，研究持續(xù)性是一個必須要考慮的因素。因為協(xié)同持續(xù)性研究的目的是試圖在一定條件下通過組合配置的方式消除或減弱風(fēng)險的持續(xù)影響，如果組合后維數(shù)減小了，方差的持續(xù)性也將減弱，當(dāng)前風(fēng)險的影響也將減少，這對風(fēng)險的規(guī)避具有重要意義。有關(guān)長記憶性的分形理論很自然就被應(yīng)用到波動持續(xù)性的研究當(dāng)中，將FIGARCH引入?yún)f(xié)同持續(xù)性的研究中，對于現(xiàn)實經(jīng)濟(jì)中的規(guī)避風(fēng)險有極大意義。

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