直線二級倒立擺狀態反饋設計

【摘要】 倒立擺系統是一個非線性自然不穩定系統，介紹了二級倒立擺系統的硬件組成，從運動學的角度建立了系統的數學模型，并用狀態反饋對二級倒擺系統進行詳細的控制設計，最后設計了系統的全維觀測器，經仿真驗證得到了較好的控制效果。

【關鍵詞】 二級倒立擺;觀測器;MATLAB仿真

倒立擺是研究控制理論的典型實驗平臺，其高階次、不穩定、變量、非線性和強耦合的特性吸引了眾多研究者。控制器的設計是倒立擺系統的核心內容，因為倒立擺是一個絕對不穩定的系統，為使其保持穩定，我們應用現代控制理論知識進行分析。

一、物理模型

一個典型的二級倒立擺系統主要由機電裝置和控制裝置兩部分組成。機電裝置的結構主要由:光滑的導軌、小車、下擺桿、上擺桿及連接軸等構成(如圖1所示)。設系統中擺桿是勻質剛體，擺桿豎直向上時，下擺桿角位移、上擺桿角位移均為零，擺桿順時針旋轉為正。

二、數學模型

將二級倒立擺系統分為小車，擺桿1，擺桿2三部分。由受力分析可得在平衡點(?茲1≈0，?茲2≈0)的線性方程:

(m+m1+m2)x+(m1L1+m2L)?茲2+m2L2?茲2=F(2-1)

(m1L1+m2L)x+(J1+m1L12+m2L2)?茲1+m2LL2?茲2=(m1L1+m2L)g?茲1(2-2)

m2L2x+m2LL2?茲1+(J2+m2L22)?茲2=m2gL2?茲2(2-3)

其中，m=2.3287kg為小車質量，下擺桿質量m1=0.22kg，轉動慣量J1≈0，下擺桿重心到轉軸a間的長度L1=0.32m，上擺桿質量m2=0.16kg，轉動慣量J2≈0，上擺桿重心到轉軸b間的長度L2=0.26m，上下擺桿長度為L=0.5m，重力加速度g。取:x1=x，x2=x，x3=?茲1，x4=?茲\"1，x5=?茲2，x6=?茲\"2代入參數后得到如下狀態方程:

三、基于狀態反饋的二級倒立擺系統設計

(1)能控性判別。判斷能控性矩陣TC=ctrb(A，B)的秩R(TC)=6，故系統狀態完全可控。

(2)閉環系統極點配置。開環特征根:

op={0，0，12.6408，-12.6408，4.3256，-4.3256}

原系統不穩定，需通過狀態反饋來滿足要求。根據期望的小車位移、上擺和下擺角度，經試湊法確定閉環系統期望極點:clp =[-2.5+3j，-2.5-3j，-5，-4，-8+6j，-8-6j]。

(3)確定反饋增益Ks。應用MATLAB的Ks=-place(A，B，clp)，得反饋增益Ks。

(4)系統設計，狀態反饋后方程形式:

x=Ax+Bu=(A+B*Ks)x+Bv

y=Cx

(5)采用step(num，den)命令求階躍響應。

四、二級倒立擺全階觀測器設計

本節在閉環系統的基礎上加上全維狀態觀測器以估計值z作為反饋，適當選擇觀測器的極點，利用對偶系統:若S完全能觀，則ST完全能控，由此可推導出觀測器為:

Z=(A-KzC)z+Bu+Kzy

(1)能觀性判別:判別能觀測矩陣TO的秩R(TO)=6，故系統完全能觀，可設計全階觀測器。

(2)觀測器極點配置:選觀測器的幾點Gc=2.5clp，得觀測器極點:

Gc=[-6.25+7.5j，-6.25-7.5j，-12.5，-10，-20+15j，-20-15j]。

(3)指定極點的觀測器增益Kz。由place函數求對偶系統的Kz=place(A‘，c’，Gc ):

kz =[ 36.6 -3.5 17.0;285.3 -77.8178.9;2.215.1 2.3;35.4 171.4 50.3;-14.7 2.2 23.1; -137.6 -134.8 237.2]。

(4)分析階躍響應曲線。

五、仿真結果

圖2帶觀測器反饋的階躍響應

由圖，帶觀測器與不帶觀測器的閉環反饋系統的階躍響應曲線一樣。小車先向x軸負向移動后向x 軸正向運動，在經過2s后靜止在x=4cm處，與期望的結果相一致，此時狀態變量均趨于零，系統平衡。

六、結論

通過應用狀態反饋方法對倒擺系統進行控制，在可控性和可觀測性判別的基礎上實現帶狀態觀測器倒擺系統的穩定性研究，經仿真表明此控制方案可以達到良好的控制效果。

參考文獻

[1]郭釗俠，方建安，苗清影.倒立擺系統及其智能控[J].東華大學學報，2003，29

[2]史曉霞.二級倒立擺系統的建立及意義[J].河北工業大學學報，2001，30

[3]趙文峰.MATLAB控制系統設計與仿真[M].西安:西安電子科技大學出版社，2002