《勾股定理》教學設計比較研究

● 教學片段對比展示

片段一:多媒體環境

深圳市深南中學王菁

創設情境:教師介紹勾股定理的歷史和逸聞趣事，設置勾股定理相關問題串。學生欣賞探索勾股定理(見圖1)和消防員架梯子救火動畫(見圖2)。從有趣的情境出發，以境激情，以情激思。

師生互動，探索新知:學生以小組合作、交流的形式，采用直接數方格的辦法，或者是分割成幾個等腰三角形完成實驗，計算正方形A、B、C的面積(見圖3)。利用幾何畫板課件演示，形象地展現了定理的一般性，更好地幫助學生理解定理。

回歸生活，應用新知:一根旗桿在離地9米處斷裂，旗桿頂部落在距底部12米處，旗桿折斷之前有多高?學生體會此題的實際背景，并探討“旗桿折斷之前的高度”指的是什么。使學生全面了解和靈活掌握直角三角形三邊關系，防止思維定勢。

片段二:網絡技術環境

河北省唐山市第十七中學王立民

創設情境:以貼近學生生活的實際問題引入(一個門框的高為2米，寬為1米。一塊長3米，寬2.2米的薄木板能否從門框通過，為什么)，從而調起學生渴求知識的胃口，激發和點燃學生的學習興趣，增大主體參與程度。

大膽猜想:我們以“勾3、股4、弦5”的情況為例進行猜想。看看動畫(見圖4)能不能帶給你一些靈感，請你大膽地猜想一下吧!

動畫比較直觀，學生容易猜想，并且這個動畫也展示了用面積來證明勾股定理的一個方法，為解決這節課的難點——勾股拼圖做了鋪墊。

計算機驗證:找更多的直角三角形進行測量、計算，再實驗。如果在練習本上畫、測、算，必定費時費力;利用幾何畫板，可以減少大量的測量和計算，并且測量和計算也相對準確一些。該過程中幾何畫板軟件的應用，為探索數學提供了數值的方法，它可以拖動三角形的一個頂點，任意改變直角三角形的大小，在變化中可以看到，不變的是a2+b2的數值據永遠等于c2。

理性認識:利用幾何畫板，動手拼接圖形，探究證明思路。

以上是參賽的兩個教學片段，縱觀2006～2008年三屆優質課大賽，初中數學組的參賽教師有10%選擇了《勾股定理》作為參賽課，他們根據自己的實際、自己的理解，應用不同的教學環境、采用不同的教學方法和策略教學同樣的主題。但其中有些教師采用的多媒體環境和網絡環境下的教學模式，忽視了傳統教學方法的應用，未能達到理想的教學效果。其主要原因是對信息技術與課程整合的整合點理論理解不透徹。

● 整合點深度分析

(一)優質課大賽《勾股定理》教學設計分析

《勾股定理》是初中數學教學的重要內容之一。一方面，勾股定理可以看作直角三角形的性質，它揭示了直角三角形的三邊的數量關系，把形的特征(直角三角形的一個角是直角)轉化為數量關系(三邊符合a2+b2=c2)，解決了許多直角三角形的計算問題;另一方面，由于勾股定理在整個數學學科以及重大科技發現中的作用，對學生的發展，尤其是科技觀的形成，其影響是重大的。筆者認真研究了2006～2008年三屆優質課大賽的教學設計，發現信息技術主要是用做創設情境工具、演示工具和探索工具。經統計，在全部的18節課中，信息技術被用來創設情境的有17節課，占94%;用做演示工具的有18節課，占100%;用做探索工具的有17節課，占94%;用做交流工具的僅有3節課，占17%;學生利用網絡收集信息的有5節課，占28%;學生在網絡環境下動手操作的有9節課，占50%;學生在非網絡環境下動手操作的有7節課，占39%。

從統計的結果不難看出，多數教師忽略了傳統教學方法的優勢，信息技術似乎成了萬能工具，而多媒體環境下的教學卻不能找到恰當的整合點。筆者從整體上分析了勾股定理的教學設計存在的共性優缺點。

優點:①利用多媒體手段從中、西方不同的文化背景入手，挖掘勾股定理的發現過程，中西對比，培養學生的愛國情操。②充分利用多媒體技術創設教學情境，把教學內容與日常生活有機地聯系起來，突出了勾股定理的應用。③能充分利用多媒體等教學資源，較好地使用教具，讓學生在演示中形象地理解題意。④利用幾何畫板軟件，直觀體驗了任意性的含義，能使學生深入理解任意性在數學中所起的作用。

缺點:①弦圖證法和畢達哥拉斯證法是一亮點，應該讓學生通過合作拼圖，進行勾股定理的證明，這也是這堂課的難點。而很多教師將這一系列的數學活動利用多媒體完成，學生未能更好地主動嘗試、探索，主動了解和發現知識的產生與發展過程。②在網絡教學中教師沒能設置任務，引導學生利用豐富的網絡資源自主探究有關勾股定理的發現、發展、文化價值等資料。搜集資料這一過程多由教師一人包辦。③對整合點和整合點診斷過程缺乏了解，找不到恰當的整合點。對信息技術與課程整合還存在盲目性，有些教師還是為了用信息技術而用。

(二)《勾股定理》教學設計普遍存在的問題及原因

1.對《勾股定理》教材安排特點把握不準。

《勾股定理》教材安排有如下特點:①勾股定理有著悠久的歷史，是人類最偉大的數學發現之一。但是由于教材在編寫過程中遵循了簡約性的原則，沒能更深入地介紹它產生、發展的歷史背景以及它在人類文化發展史上的貢獻。②缺少多樣的驗證方法。勾股定理的證明方法很多，不同版本的教科書上都是選擇了一到兩種的面積證法。而學生學習這些證明法又存在以下兩方面的困難:一是這種方法以前沒見過，感到陌生，尤其是覺得不像證明。這主要是因為教科書中沒有專門講面積的理論，推理的根據不明確造成的。教學時可以向學生說明，圖形經過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變，這是一種常用的證明方法，這也是我國古代證明幾何問題常用的方法。二是教材中的證明方法是利用面積關系列等式，而如何找到這個等式對學生來說又是一個難點。

2.對整合點理論理解不透徹。

參賽選手的信息技術素養較高，但對整合點理論的理解不深入、不透徹是普遍存在的問題。導致某些教師的教學效率沒有顯著提高，沒有激發學生的學習興趣，自主與協作學習、動手操作能力沒有得到更好的培養。

整合點的診斷過程是，首先要分析每一個理想教學步驟是否能夠在常規教學手段支撐下完成，完成的效率和質量如何;然后分析信息技術手段對每一步的支撐情況如何，是否比常規教學手段質量或效率高，如果確實高的話，該步驟就可以診斷為整合點。

一節課的整合點應從這節課的教學重點、難點所對應的教學步驟中診斷，其他目標所對應的教學步驟中即便有整合點，利用信息技術解決了整合點的問題，對一節課的教學質量和效率提高所起的作用也是很有限的。一節課的教與學的質量和效率主要取決于重點、難點的解決程度。對于其他的教學目標所對應的教學步驟，是否分析整合點，要根據這節課的具體情況而定。同一節課，不同學校、不同班級、不同教師所設計的教學過程可能有區別，因此，整合點可能有區別。即便教學過程相同，整合點也可能不同。整合點是教學步驟，而不是教學內容，在整合點診斷時不要搞混淆了。

綜合教材安排特點、學生認知特征、教學環境、教學資源等各方面的因素。結合整合點理論，筆者認為對于《勾股定理》這節課采用混合式教學會達到理想的教學效果。

● 點石成金——理想狀態下的勾股定理教學設計

所謂理想情況下一節課的教學過程設計，是指在不考慮教學條件的情況下，突破時空限制來構思課堂教學的步驟，盡可能提高學生的學習質量和效率。筆者根據整合點理論，及優質課大賽中各位教師的優點。筆者設計了理想狀態下的勾股定理教學設計，下面是理想狀態下教學設計的幾個片段。

(一)穿越表象，透視規律

教與學的活動以及媒體的應用:

1.觀察下圖并填空。

(1)請學生觀察圖形A、B、C的面積有什么關系(見圖5)?(SA+SB=SC)

(2)圖6中每個小方格代表一個單位面積，正方形A中含有____個小方格，即A的面積是____個單位面積;正方形B的面積是____個單位面積;正方形C的面積是____個單位面積。

三個正方形A、B、C面積之間有什么關系?(SA+SB=SC，即兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積)

(4)做一做。

學生利用幾何畫板畫出任意一個直角三角形，并推導出直角三角形三邊平方和的關系。

整合點及解決辦法:①設置“數格子”、“超級畫板演示”、“幾何畫板實驗”三個環節，讓學生直觀感受勾股定理的數形特征，親歷猜想勾股定理的過程。②充分運用信息技術的優勢，直觀、形象地揭示問題的本質，讓學生在變化中把握住“不變”的本質，進一步強化猜想的正確性，從而激發學生進一步論證猜想的欲望，維持強勁探索動力，為下一步學習活動做好充分的思維準備。

(二)例題講解，運用定理

教與學的活動以及媒體的應用:

1.在Rt△ABC中，∠C=90°。

(1)已知a=6，c=10，求b。

(2)已知a=40，b=9，求c。

(3)已知c=25，b=15，求a。

2.在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)若2∠A=∠B，且a=2，則b=_____，c=____。

(2)a:b=3:4，且c=10，則a=____，b=____。

利用實物投影展示學生的求解過程。

整合點及解決辦法:①習題設計遵循“循序漸進”，強化學生對定理的理解、運用，培養學生解決實際問題的能力。②通過實物投影展示學生的學習成果，讓學生互相進行點評。

(三)鞏固練習，強化記憶

動畫演示蓮花問題:平平湖水清可見，面上半尺生紅蓮;出泥不染亭亭立，忽被強風吹一邊;漁人觀看忙向前，花離原位二尺遠;能算諸君請解題，湖水如何見深淺(見圖8)。

整合點及解決辦法:利用多媒體生動、形象地再現問題情境。

(四)思維拓展，深化定理

教與學的活動以及媒體的應用:已知任意△ABC，其三邊分別為a、b、c，讓學生動手操作，仔細觀察幾何畫板動畫演示，并分小組討論，完成下面的內容。

①當△ABC是三角形時，a²+b²>c²。

②當△ABC是三角形時，a²+b²=c²。

③當△ABC是三角形時，a²+b²2。

整合點及解決辦法:利用幾何畫板，讓學生動手探索出各類三角形的三邊之間的關系，這不但有利于培養學生思維能力，優化他們的思維品質，而且讓他們能在比較中更深刻地理解勾股定理的本質屬性，防止知識的負遷移。