芻議數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中直覺思維是不被重視的，教師注重的是：講授、訓(xùn)練、作業(yè)、考試等一些有形的東西。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生的體驗、直覺思維這些無形的東西往往是被忽視的。而實踐表明，要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力，就必須發(fā)展學(xué)生的直覺思維能力。因此，如何培養(yǎng)學(xué)生的直覺思維就顯得尤為重要。

一、數(shù)學(xué)直覺思維的概念

什么是直覺?“直覺”原意為未經(jīng)充分推理的直觀，但它是以已獲得的知識和已經(jīng)積累的經(jīng)驗為基礎(chǔ)的。心理學(xué)上的解釋為：“直覺思維是指人在思考時，對結(jié)論的獲得是憑直覺而未經(jīng)明確的邏輯步驟，沒有明確的過程意識”或“指沒有傳統(tǒng)的邏輯形式，而能迅速地對問題的答案作出合理的推測或頓悟?！?/p>

直覺不同于直觀，也不同于直感。直觀與直感都是以真實的事物為對象，通過各種感覺器官直接獲得的感覺或感知，而直覺的研究對象則是抽象的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)及其關(guān)系。

那么，什么是數(shù)學(xué)直覺呢?數(shù)學(xué)直覺思維是大腦基于有限的數(shù)據(jù)資料和知識經(jīng)驗，充分調(diào)動一切與問題有關(guān)的顯意識和潛意識，在敏捷想象和迅速判斷有機結(jié)合下，從整體上單刀直入地領(lǐng)悟數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)，洞察數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)和關(guān)系的一種思維。

二、數(shù)學(xué)直覺思維的特征

培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺思維的關(guān)鍵問題，在于抓住直覺思維的特征。

1.非邏輯與潛意識

數(shù)學(xué)直覺思維是在主體“意識不到、不能控制”的情況下，對數(shù)學(xué)對象、結(jié)構(gòu)及其規(guī)律關(guān)系作出敏銳洞察、直接猜斷和總體把握，表現(xiàn)為沒有遵守邏輯規(guī)則，也沒有受到顯意識的控制。常常會出現(xiàn)這樣的情況：你對一個問題束手無策，你奮力工作，然而毫無進(jìn)展，但當(dāng)你休息一夜或中斷幾天之后，突然出現(xiàn)了一個好念頭，問題便迎刃而解了。這種突然而來的好念頭，只有在你奮力工作或者至少有強烈的愿望之后才能得到。

2.直接突發(fā)與整體綜合

這是說運用直覺思維去認(rèn)識數(shù)學(xué)對象、結(jié)構(gòu)及規(guī)律關(guān)系時，不需要運算、推演的過程可以一眼看出當(dāng)中的本質(zhì)，直接完成理解的感受，并且其進(jìn)行的速度極快，一瞬間就明白了。

直覺思維不拘泥于事物的局部，而著眼于整體上揭示事物的本質(zhì)及相互關(guān)系，表現(xiàn)出全局上的確定性和細(xì)節(jié)上的模糊性。它也力求單刀直入地接觸問題的實質(zhì)，把握問題的要害，是綜合各種信息從總體上作出判斷的結(jié)果，這種判斷與平時的經(jīng)驗積累有關(guān)。

3.新異突破與自由熱烈

直覺活動是一種自由的思考，不受現(xiàn)有模式的嚴(yán)格限制，從而能根據(jù)有限的信息作出發(fā)散的，不落窠臼的判斷，表現(xiàn)出創(chuàng)新性、超前性和預(yù)見性。并且，伴隨著直覺思維結(jié)果的出其不意的到來，人的情緒常有一種欲罷不能的興奮感和堅定豪邁的自信心。

三、數(shù)學(xué)教學(xué)中直覺思維的培養(yǎng)

培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺思維的重點是重視數(shù)學(xué)直覺。直覺盡管“突如其來”，但并不是神秘莫測，它是在長期積累起來的知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上形成的，是可以培養(yǎng)的。

1.促使思維定勢正遷移，培養(yǎng)洞察力

直覺思維是一種主動的思維過程，倍受主體的定勢或意向的制約。思維定勢表現(xiàn)為按照某種習(xí)慣的思路去思考，按某一固定的程式去解決問題。這種定勢直接影響到后繼思維活動的方向與模式。促使思維定勢正遷移，有利于培養(yǎng)洞察力，發(fā)展直覺思維。

例1 已知：a、b、c∈R，求證： + + ≥(a+b+c )

顯然，要證明上述結(jié)論只需證明不等式 ≥(a+b) (1)

但這個不等式又怎么證明呢?學(xué)生們束手無策，盡管不等式a+b≥2的證明過程：(a-b)2≥0?圯a2+b2≥2ab?圯(a+b)2≥4ab?圯a+b≥2(a、b∈R+)大家都很熟悉。

當(dāng)初若知(a-b)2≥4ab是由a2+b2≥2ab兩邊同時加上其右邊部分得到的，現(xiàn)在就能敏銳洞察到要得到不等式(1)只需將a2+b2≥2ab兩邊同時加上其左邊部分。

這里提示我們在教學(xué)過程中，學(xué)生學(xué)習(xí)了一個定理、公式后，應(yīng)適時小結(jié)以揭示其規(guī)律，促使知識廣泛正遷移，有利于今后迅速判斷出解決類似問題的方向，從而縮短探索的過程。

2.設(shè)置教學(xué)情境，促使整體思考

數(shù)學(xué)直覺思維的重要特征之一就是思維形式的整體綜合。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生從復(fù)雜問題中尋找內(nèi)在的聯(lián)系，特別是發(fā)現(xiàn)隱蔽的聯(lián)系，從而把各種信息做綜合考察并做出直覺判斷，往往可以激發(fā)直覺思維，從而導(dǎo)致思維的創(chuàng)新。

例2 求函數(shù)f(x)=log2[log2(1-x2)+1]的自變量取值范圍

分析：先后分別把log2(1-x2)+1、1-x2看成一個整體，得log2(1-x2)+1>0、1-x2>0，從而求得原函數(shù)的自變量取值范圍。

例3 解不等式1

分析：此式若化為不等式組求解，是比較麻煩的，從整體上加以觀察和分析，發(fā)現(xiàn)若令X=x2-2x-2，則發(fā)現(xiàn){X|13。

這里換元起了重要的作用，換元法就是一種等價的替換，替換使不便于直接處理的問題得到解決。大家后面還會看到這種替換的神奇作用。

3.以美尋真，培養(yǎng)審美意識

美的意識能喚起和支配數(shù)學(xué)直覺，縱觀古今，數(shù)學(xué)上的許多發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)舉無論從宏觀還是微觀上看無不遵循美的創(chuàng)造規(guī)律。因此，在教學(xué)中讓學(xué)生體驗和領(lǐng)略數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，著意培養(yǎng)審美意識，這也是提高直覺能力的重要一環(huán)。

例4 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

在按定義畫出橢圓的圖形后，教師在導(dǎo)出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中可作如下的分析和引導(dǎo)。

(1)根據(jù)橢圓的對稱性，顯然應(yīng)當(dāng)以F1、F2所在的直線為x軸，F(xiàn)1、F2的中垂線為y軸建立坐標(biāo)系.為了使運算簡潔，F(xiàn)1、F2的坐標(biāo)既要對稱又要不含分母，這樣理應(yīng)設(shè)焦距為2c(c>0)，而與焦點相關(guān)聯(lián)的動點M與F1、F2的距離之和也應(yīng)保持統(tǒng)一的形式，不妨設(shè)它為2a，顯然a>c.

(2)由橢圓的定義，設(shè)動點的坐標(biāo)為(x，y)，得 + =2a ①

化簡、整理，得a2+b2=1 ②

方程②雖然比方程①簡單，但由圖形的對稱美，我們企望方程也應(yīng)當(dāng)具有對稱美，注意到a>c，故可設(shè)b2=a2-c2，于是方程②又化為a2+b2=1

(3)回頭再看，當(dāng)初若把焦距及動點到兩焦點的距離之和分別設(shè)為a和c，會得到較為簡潔的方程②嗎?可見對美的追求必會獲得美的果實。同樣地，現(xiàn)在引進(jìn)了b，這也是對美的追求，這種追求得到了美的回報。

4.留下思維的空間，以利于做出直覺判斷

學(xué)生的思維能力是在實踐和訓(xùn)練中發(fā)展的，在數(shù)學(xué)教學(xué)中適當(dāng)推遲做出結(jié)論的時機，給學(xué)生一定的直覺思維的空間，有利于學(xué)生在整體觀察和局部考察的結(jié)合中發(fā)現(xiàn)事物的內(nèi)在規(guī)律，做出直覺判斷。這是發(fā)展學(xué)生直覺思維的必要措施。

例5 求證≥

讓學(xué)生注視上式良久，他們會發(fā)現(xiàn)不等式兩邊的分式具有相同的結(jié)構(gòu)：分母等于分子加1。故構(gòu)造函數(shù)f(x)=，由于f(x)==1-是增函數(shù)，且|a+b|≤|a|+|b|，則原不等式得證。

5.養(yǎng)成反思的習(xí)慣，彌補思維的“漏洞”

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科。直覺是一種不經(jīng)過分析、推理的認(rèn)識過程而直接快速地進(jìn)行判斷的認(rèn)識能力，學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維由于受心理因素和認(rèn)知水平的限制而時常產(chǎn)生錯誤，因此養(yǎng)成反思的習(xí)慣，可以彌補學(xué)生思維的漏洞。

直覺思維與邏輯思維同等重要，偏離任何一方都會制約一個人思維能力的發(fā)展，數(shù)學(xué)的全部力量就在于直覺和嚴(yán)格性巧妙地結(jié)合在一起，受控制的精神和富有美感的邏輯正是數(shù)學(xué)的魅力所在，也是數(shù)學(xué)教育者努力的方向。

參考文獻(xiàn)

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