挖掘教材“空白” 填補(bǔ)教學(xué)“缺失”

數(shù)學(xué)教材內(nèi)容雖然豐富，但也存在一些“空白”。筆者就如何挖掘并利用這些“空白”填補(bǔ)教學(xué)“缺失”談幾點(diǎn)做法。

一、利用數(shù)學(xué)史實(shí)——導(dǎo)行

“五育并舉，德育為首”，“十年樹木，百年樹人”，這是我國歷時(shí)多年總結(jié)的教育大略。數(shù)學(xué)同其他學(xué)科一樣，也肩負(fù)著對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想教育的任務(wù)。基于學(xué)科特點(diǎn)、教材編排等客體因素，現(xiàn)行的數(shù)學(xué)教材對(duì)學(xué)生滲透思想品德教育或是以扼要的文字片段出現(xiàn)經(jīng)典的數(shù)史實(shí)、典故，或是在練習(xí)中加以滲透。其實(shí)，每個(gè)數(shù)學(xué)史實(shí)都隱藏著一個(gè)動(dòng)人的故事。挖掘并利用這些資源對(duì)學(xué)生進(jìn)行教育，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的治學(xué)態(tài)度，具有重要意義。如，“圓周率”在人教版教材中是這樣描述的：“約2000年前，中國的古代數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中就有‘周三徑一’的說法，意思是說圓的周長(zhǎng)是它的直徑的3倍。約1500年前，中國有一位偉大的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家祖沖之，他計(jì)算出圓周率應(yīng)在3.1415926和3.1415927之間，成為世界上第一個(gè)把圓周率的值精確到7位小數(shù)的人。他的這項(xiàng)偉大成就比國外數(shù)學(xué)家得出這樣精確數(shù)值的時(shí)間，至少要早1000年。現(xiàn)在人們用計(jì)算機(jī)算出的圓周率，小數(shù)點(diǎn)后面已經(jīng)達(dá)到上億位。”

關(guān)于“圓周率”，有一個(gè)動(dòng)人的故事：早年的祖沖之因得罪權(quán)臣，官職被革。36歲時(shí)，祖沖之開始研究數(shù)學(xué)。他先為古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》作注。歷代有不少人曾為它作注，但都碰到一個(gè)難題：那就是圓周率（圓周和直徑的比值，即π），古時(shí)候，人稱“徑一周三”，即π=3。王莽新朝時(shí)精確到3.1547，東漢時(shí)張衡精確到3.1466，三國時(shí)劉徽為《九章算術(shù)》作注，則認(rèn)為最精確的應(yīng)是3.14。

祖沖之被圓周率問題困擾得坐臥不安。他住所里的雪白粉墻上，畫著一個(gè)大大的圓圈，地上也是大圈套小圈，桌上到處是紛亂的稿紙。唉，這周徑之比是如何得出的呢？他又回到桌前抽出劉徽注的那本《九章算術(shù)》坐下來邊讀邊想。這時(shí)屋里還有他一個(gè)十三四歲的兒子祖暅。別看他小小年紀(jì)，卻天資聰穎，戲耍之余常愛在父親身邊推算那些數(shù)字和圖形。今天他看到地上這許多圓圈，感到很新鮮，便單腿在地上跳起圈來，突然聽到父親喊道：“有了！”將他嚇了一跳，忙跑過去拉著父親的衣袖問道：“什么有了？”“辦法有了。暅兒，你看劉徽這里不是明明寫著割圓術(shù)嗎？割圓術(shù)即用圓的內(nèi)接或外切正多邊形來逼近圓的周長(zhǎng)。只要將一個(gè)圓不斷地割下去，求出多邊形的周長(zhǎng)，不就有了圓周率了嗎？暅兒，你會(huì)嗎？”“我會(huì)，用父親教過的勾股定理求就是了。”“道理簡(jiǎn)單，算起來可就費(fèi)勁了，從今天起，咱爺兒倆就來辦這件事，你可要十分仔細(xì)啊。”說完，祖沖之到院里搬來幾根大竹子，操起一把刀將竹子破成細(xì)條，又一一斬成短截，整整干了幾天后，地上堆起了一座竹棍的小山。聽來奇怪，搞計(jì)算怎么會(huì)干起竹木活來？原來，當(dāng)時(shí)既沒有阿拉伯?dāng)?shù)字可以筆算，也沒有算盤可以珠算，全靠用竹木削成的一根根小棍擺成各種數(shù)字進(jìn)行運(yùn)算。數(shù)字縱橫兩式，個(gè)位、百位、萬位用縱式，十位、千位用橫式。一切加、減、乘、除全靠用這些木棍在桌上擺來擺去。

祖沖之將這一切準(zhǔn)備停當(dāng)之后，便在地上畫了一個(gè)直徑為一丈的大圓，將圓割成六等分，然后再依次內(nèi)接一個(gè)正12邊形、正24邊形、正48邊形……他都按勾股定理用算籌擺出乘方、開方等式，一一求出正多邊形的邊長(zhǎng)和周長(zhǎng)，祖沖之何等聰明，他知道圓周率是周長(zhǎng)與直徑之比，所以就把直徑定為一丈，這樣就省掉再除一次的程序，不斷求出正多邊形的周長(zhǎng)，也就不斷逼近圓周率了。

他們父子這樣不分晝夜地割圓算商。這天，他們分割到第96份，那內(nèi)接的正96邊形，與圓都快接近于重合了。按說，能算到這一步已經(jīng)不易，用這個(gè)數(shù)字再去為《九章算術(shù)》作注，也就可以了。但是，祖沖之父子鍥而不舍，繼續(xù)把地上那個(gè)大圓直割到24576份，這時(shí)的圓周率已經(jīng)精確到3.14159261。祖沖之知道這樣不斷割下去，內(nèi)接多邊形的周長(zhǎng)還會(huì)增加，更接近于圓周，但3.14159261已到了小數(shù)點(diǎn)后第八位，再增加也不會(huì)超過0.0000001大，所以圓周率必然是3.1415926＜π＜3.1415927。祖沖之首創(chuàng)的圓周率精確值在當(dāng)時(shí)世界上已遙遙領(lǐng)先，直到1000年后才有阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西和16世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)的計(jì)算超過了他。所以國際上曾提議將圓周率命名為“祖率”。

經(jīng)過無數(shù)個(gè)日夜奮戰(zhàn)，圖形遍地，算籌成堆，祖沖之終于算出了新的圓周率。這天他興致極好，便帶著兒子出了都城，到郊外一座小山上的寺院里吃酒、訪友、散心。他邊走邊說：“暅兒，這圓周率在天文、歷算、測(cè)地、繪圖上處處都要用到，前面的幾位數(shù)字你可要牢牢記熟。”小祖暅?zhǔn)掷锬弥恢σ盎ǎ瑩P(yáng)起稚氣的圓臉，往山一指，說：“好記，好記！山巔一寺一壺酒（3.14159）。父親今日心情甚好，可以開懷暢飲了。”祖沖之不禁仰天大笑，一來這些日子的辛苦總算有了個(gè)結(jié)果，二來小暅兒如此聰明，不怕事業(yè)后繼無人。那祖暅后來真的成了我國歷史上有名的數(shù)學(xué)家。

由于課堂40分鐘的時(shí)間是有限的，諸如此類的故事，我們可以利用“數(shù)學(xué)故事會(huì)”等課外活動(dòng)進(jìn)行。當(dāng)然，對(duì)學(xué)生講這樣的故事，并不是倡導(dǎo)學(xué)生重走“古人走過的老路”，而在于激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)前人嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。

二、鏈接知識(shí)網(wǎng)絡(luò)——導(dǎo)學(xué)

1.聯(lián)系散落知識(shí)。縱觀人教版、蘇教版、北師大版等教材，特點(diǎn)之一是關(guān)注知識(shí)的系統(tǒng)性、漸進(jìn)性。各版本教材大體按“數(shù)與代數(shù)”、“空間與圖形”、“統(tǒng)計(jì)與概率”、“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”四大領(lǐng)域編排各學(xué)段的學(xué)習(xí)內(nèi)容。然而，各版本的教材在關(guān)注各部分知識(shí)之間的聯(lián)系與綜合的同時(shí)，也有些知識(shí)被散落在不同的板塊中。如，人教版的六年級(jí)下冊(cè)“整理和復(fù)習(xí)”這一單元，將“分?jǐn)?shù)、小數(shù)的基本性質(zhì)”這一內(nèi)容編排在“數(shù)與數(shù)的運(yùn)算”這一板塊，將“比、比例的基本性質(zhì)”編排在“代數(shù)初步知識(shí)”這一板塊。教學(xué)中，我們能否將這些知識(shí)進(jìn)行有機(jī)的整合呢？筆者嘗試將這些“有關(guān)性質(zhì)”進(jìn)行整合、溝通，意在通過系統(tǒng)梳理減法性質(zhì)、商不變性質(zhì)、小數(shù)的基本性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、比的基本性質(zhì)、比例的基本性質(zhì)等知識(shí)，使之形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。在教學(xué)活動(dòng)中，引導(dǎo)學(xué)生自主梳理、小組交流，并完成下表。

數(shù)學(xué)知識(shí)是一個(gè)有機(jī)的整體，把相對(duì)交錯(cuò)的內(nèi)容進(jìn)行梳理，適當(dāng)整合，可以使學(xué)生逐步加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體認(rèn)識(shí)，提高綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法去解決具體問題的能力。

2.拓展探索空間。數(shù)學(xué)素有“思維體操”之美稱。當(dāng)代美國著名數(shù)學(xué)家哈爾莫斯說過：“問題是數(shù)學(xué)的心臟。”在現(xiàn)行教材中，有些知識(shí)過于“細(xì)嚼”，這并非絕對(duì)有利于發(fā)展學(xué)生的能力。對(duì)此，我們可以設(shè)置問題懸念，誘導(dǎo)學(xué)生探索、解決。如，學(xué)習(xí)“能被3整除的數(shù)的特征”，我們可設(shè)計(jì)問題：“能被2、5整除的數(shù)的特征看個(gè)位。30、21、12、63、84、45、96、57、78、69這些數(shù)能被3整除嗎？你能找出能被3整除的數(shù)的特征嗎？這樣的設(shè)問不僅可以激勵(lì)學(xué)生積極參與探索新知識(shí)的興趣，而且有助于提高學(xué)生探索知識(shí)、解決問題的能力。

3.整合邊緣學(xué)科。加強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)科與邊緣學(xué)科的聯(lián)系，使之相互滲透、相互融合，對(duì)深化數(shù)學(xué)教學(xué)改革，培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)具有積極作用。如，低年級(jí)的小朋友“認(rèn)識(shí)數(shù)”時(shí)，可以編排一些數(shù)字成語（零敲碎打、一心一意、兩面三刀、三足鼎立、四通八達(dá)、五彩繽紛、六神無主、七手八腳、八仙過海、九死一生）、數(shù)字地名和數(shù)字順口溜幫助學(xué)生識(shí)記。這樣，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，為后續(xù)加強(qiáng)學(xué)科整合與數(shù)學(xué)應(yīng)用打好基礎(chǔ)。

三、開發(fā)生態(tài)資料——導(dǎo)創(chuàng)

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》指出：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠……初步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維去觀察、分析現(xiàn)實(shí)社會(huì)，去解決日常生活中和其他學(xué)科學(xué)習(xí)中的問題，增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)；體會(huì)數(shù)學(xué)與自然及人類社會(huì)的密切聯(lián)系，了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，增進(jìn)對(duì)數(shù)學(xué)的理解和學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。”開發(fā)并利用生活數(shù)學(xué)，一直是課程改革所關(guān)注的實(shí)踐性話題。如何適時(shí)地開發(fā)、利用呢？如，學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”，很多老師會(huì)把學(xué)習(xí)目標(biāo)定位在“能運(yùn)用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，把分?jǐn)?shù)化成指定分母（或分子）而大小不變的分?jǐn)?shù)；為后續(xù)學(xué)習(xí)約分、通分奠定基礎(chǔ)”。這就把學(xué)習(xí)禁錮在課本之中，極易弱化數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用。教學(xué)此課時(shí)，筆者設(shè)計(jì)了這樣的一個(gè)問題：“我們?cè)陔娨暬颥F(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常看到發(fā)生交通事故，同學(xué)們能用今天學(xué)習(xí)的‘分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)’知識(shí)來幫助解決這一問題嗎？”

生1：發(fā)生交通事故，有的是超載造成的，我們可以把勉強(qiáng)一車運(yùn)走的貨物分成兩次運(yùn)完，這樣既保障需運(yùn)貨物的總量不變，又可能避免交通事故的發(fā)生。

生2：我們可以通過限制車速來避免交通事故的發(fā)生。雖然車速減緩，行駛的時(shí)間會(huì)長(zhǎng)一些，但最終能安全到達(dá)目的地。

生3：有的交通事故是公路路面設(shè)計(jì)不合理造成的，寬闊的公路路面如果無車道標(biāo)志，有些司機(jī)一會(huì)兒往左開，一會(huì)兒往右開。我們可以把很寬的一條公路路面分幾條車道，大家按規(guī)定的車道行駛。這樣，公路路面的總寬度不變，但是車道變多了，交通安全事故也可以避免。雖說“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”與“交通規(guī)則”的聯(lián)系不是太大，但是，學(xué)以致用是數(shù)學(xué)教育的最終目標(biāo)。因此，在教學(xué)中我們應(yīng)配合教學(xué)進(jìn)程，有機(jī)聯(lián)系生活實(shí)際，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。

作者單位

福建省閩侯縣上街馬保小學(xué)

◇責(zé)任編輯：曹文◇