有效的數學活動

新一輪課程改革以來，數學課堂活躍非凡。然而，在熱鬧的數學課堂中，廣大教師對于課堂教學的著力點是什么，它必須關注哪些問題，依然莫衷一是。筆者經過多年的研究，作如下論證。

一、新課程背景下數學課堂教學的著力點就是有效的數學活動

新課程以“一切為了每一位學生的發展”作為核心理念，實現了從“知識本位”到“人本位”的歷史變革。于是，從“知識傳承”到“人的發展”也就成了教學功能的根本轉變。新課程的數學教學顯現了鮮活的生命個性:它沖出了封閉，走向開放;它打破了僵化，走向創造;它克服了靜態的復制，凸現了動態的生成。這種轉變，突出了將自主建構作為學生數學學習過程這一重要學習規律。正是這樣，數學課程標準特別指出，學生的數學學習必須“親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程”。這種數學建模的過程，就是一個“自主建構”的過程。

怎樣才能實現學生數學學習的“自主建構”呢?唯一的途徑就是學生主體的“數學活動”。從理論上來講，學習者在頭腦中完成一次認知建構，需要經歷從問題情境中喚醒已有認知經驗，面對當前的情境信息，進行主體的、主動的分析比較、抽象概括，實現同化和順應、發現和頓悟，從而搭建起一個新認知結構的建構過程。一位教師教學“分數的基本性質”，首先用多媒體創設了一個聲形并茂的情境:大型科普動畫《藍貓淘氣300問》在全國各地電視臺播出，引起了廣大少年兒童的極大興趣。為了鼓勵三位人物(藍貓、淘氣、甜妞)的出色表演，明星主持何靈親自下櫥，烙了三個同樣大小的餅獎給他們。藍貓說:“我是主角，我要吃一大塊。”淘氣不服氣地說:“我是主角的主角，我要吃兩塊。”甜妞嬌滴滴地說:“我不管主角不主角，我要比你們都吃得多，我要吃四塊。”何靈滿足了他們的要求，并告訴他們:“剛才，我把三個同樣大的餅，都平均分成了2份、4份、8份，分別給你們1塊、2塊、4塊”。這時，教師問:“看到這里，同學們有什么問題嗎?”有學生說:“他們要幾塊，何靈就分給幾塊，這樣做公平嗎?”有學生說:“是不是塊數多的就一定多，到底他們誰吃的多呢?”教師接著出示了三個算式(1÷2;2÷4;4÷8)讓學生觀察這幾個算式之間有什么關系。學生回答:“它們的商相等。”教師追問:“為什么?運用了什么規律?”學生回答:“運用了商不變性質。”教師說:“如果把除法改寫成分數，就可以得到相應的三個分數，即、、，請同學們猜測一下這三個分數之間有什么關系。”有的學生從三個除式商不變猜測這三個分數相等，有學生從這三個分數的分子、分母都不相等猜測它們不相等。教師讓學生以小組為單位驗證猜測。有的小組用三張同樣大小的圓形紙片，分別畫上表示、、的陰影，再把陰影部分剪下來，比較陰影部分的面積，得出、、的大小相等;有的小組用線段圖證明三個分數相等。教師又提出:“這三個分數的分子、分母都不相同，為什么分數的大小卻相等?你能找出它們的變化規律嗎?”四人小組討論發現:、、，從左往右看，是分子、分母都乘以了一個相同的數;從右往左看，是分子、分母都除以一個相同的數。學生總結得出:分數的分子、分母同時乘以或除以相同的一個數，分數的大小不變。教師進一步追問:“為什么分數的分子、分母同時乘以或除以相同的一個數，分數的大小不變呢?同學們能否用自己的方法來驗證說明其中的道理嗎?”有的學生將剛才動手操作的圓形紙片重新擺在面前，仔細觀察分析:表示把這張圓形紙片平均分成2份，取出其中的1份(在圖上就是1份畫上陰影);的分子、分母同時乘以2得，表示把這張圓形紙片平均分成4(2×2)份，取出2(1×2)份(在圖上就是2份畫上陰影);的分子、分母同時乘以4得，表示把這張圓形紙片平均分成8(2×4)份，取出4(1×4)份(在圖上就是4份畫上陰影)。得出:分子、分母同時乘以幾，就相當于把原來分成的每一份(即表示分子的陰影部分中的每一份和陰影部分外的每一份)都同時再平均分成幾份，其變化實質只是份數“分”多了，而陰影部分在整體中的面積沒有改變，所以分數的大小就不會改變。他們又反過來看:表示把這張圓形紙片或平均分成8份，取出其中的4份(在圖上就是4份畫上陰影)，的分子、分母同時除以2得，表示把這張圓形紙片平均分成4(8÷2)份，取出2(4÷2)份(在圖上就是2份畫上陰影);的分子、分母同時除以4得，表示把這張圓形紙片平均分成2(8÷4)份，取出1(4÷4)份(在圖上就是1份畫上陰影)。這樣又得出:分子、分母同時除以幾，就相當于把原來分成的每幾份(即表示分子的陰影部分中的每幾份和陰影部分外的每幾份)都同時合并為1份，其變化實質只是份數“合”少了，而陰影部分在整體中的面積也沒有改變，分數的大小也就不會改變。教師進一步引導:“同學們根據除法中商不變的性質想想，這里的‘相同的數’是不是任何數都可以呢?”學生類推得出:分母相當于除法中的除數，分子相當于除法中的被除數。商不變性質中有一條件是“零除外”，由此聯想到分數基本性質也應有這個條件。這時完整地歸納出了“分數的基本性質”。教師再提出:“在何靈分餅的故事中，何靈為什么能做到既滿足他們每個人的要求，又分得公平?”學生真切地回答:“原來她是運用了分數的基本性質。”教師提出:“通過這節課的學習，你有什么體會，能跟大家交流交流嗎?”有的學生說，何靈懂得分數的基本性質，所以她能夠既滿足他們各自要求，又分得公平，她很有智慧。有的學生說，我體會到分數和除法相類似，分數的基本性質和商不變的性質相類似。有的學生說，起初我以為，的分子、分母比的分子、分母都大，所以應該比大，后來通過實驗證明這兩個分數一樣大。在實驗中我體會到分數的大小不是只簡單地看分子、分母的大小，而是要看分子這個部分在整體中占的大小，占的多就大，占的少就小。有的學生說，我體會到，親自動手實驗是獲得知識最好的辦法。還有的學生說，我感受到了動手實驗的樂趣……

本案例中，學生從何靈分餅的情境中提出了、、大小關系的問題，通過聯系已有相關知識，進行猜想、動手驗證、觀察比較、深入思考、不同小組的交流等數學活動，建構了“分數基本性質”的數學模型，并應用這一數學模型解釋了何靈既滿足每個人的要求，又分得公平的分餅智慧。這樣，在學生的頭腦中不僅對“分數的基本性質”有深透的理解，而且對前面已學的分數意義又獲得了更深的體驗。在整個建構過程中，教師沒有絲毫的替代，只有促成學生主體“數學活動”的引導和組織，促成學生在“數學活動”中實現有效的自主建構。由此說明，數學教學的著力點就是有效地展開學生自主建構的數學活動。正因為如此，數學課程標準在每一學段“教學建議”的第一句話都明確指出:“數學教學是數學活動的教學”。這里的數學活動，既包括觀察、操作、實驗、驗證、交流等外顯活動，也包括分析、類比、猜想、歸納、推理、反思等內隱活動。我們的整個課堂教學，必須緊緊圍繞有效的“數學活動”來展開。

二、有效的數學活動必須“四關注”

怎樣才能使“數學活動”成為學生自主建構的有效活動?我們展開“數學活動”時，必須關注以下四個方面。

1.關注原有認知，實現同化和順應。建構的本質，是在原有認知結構中搭建新的認知結構，實現結構圖式的擴充，這叫做同化;或者改變原有的某一認知結構，從而形成新的認知結構，實現結構圖式的改變，這叫做順應。可見，不論是同化的建構，還是順應的建構，都離不開原有認知經驗。這個原有認知是新認知結構得以建立的“固著點”，在建構過程中，這個“固著點”是否清晰、是否有較強的固著力，是能否實現建構的關鍵。在上述案例中，分數的基本性質，是分數范圍內商不變性質的另一表現形式。因此，商不變的性質、分數意義等變成了學生學習分數基本性質的認知“固著點”。為了使這一“固著點”更清晰，有利于同化或順應新知，教師先引導學生回憶除法中商不變的性質，調用“商不變的性質”這個學生原有的認知經驗，再把三個除法算式1÷2、2÷4、4÷8改寫成三個分數、、，并讓學生猜想這三個分數的大小關系，促成有的學生從商不變性質進行類推，獲得三個分數大小相等的猜測。這一有效的數學活動，正是教師關注學生原有認知的結果。也正因如此，才使學生由商不變性質中的“零除外”，類推得到分數性質中也必須“零除外”，實現了分數基本性質這一數學原理在學生頭腦中的同化和順應，完成了一次新的認知建構。

2.關注創設情境，促成發現和頓悟。著名的皇冠問題，讓阿基米德苦思冥想多日而未能釋疑，最后卻在澡盆的情境中悟出天機，使這一問題得以解決，發現了著名的阿基米德定理。這有力地說明了格式塔學習心理的“頓悟”是在相應的問題情境中產生的。

學生從“實際問題抽象成數學模型”的過程，其實就是一個從事實到概念的歸納過程。學生形成數學概念的原形就是這種“數學事實”。正是由于學生的數學思維源于這樣的“數學事實”，故將這樣的“數學事實”稱之為“數學活動”的“情境”。可見，情境是與“數學活動”不可分割、始終相伴的教學因素:有效的情境在有效的“數學活動”中得以呈現，而有效的“數學活動”只有在有效的情境中才得以展開。正因如此，數學課程標準在第一學段的“數學建議”中就提出“讓學生在生動具體的情境中學習數學”，在第二學段中又提出“讓學生在現實情境中體驗和理解數學”。上例中何靈分餅的教學情境，喚起了學生分數意義的原有知識，引發了、、大小關系的問題意識，促成了對、、大小關系的探究活動。當學生發現、、大小相等，又發現三個分數分子到分子、分母到分母都有相同的倍比關系時，教師將問題情境推進了原理探究的深層面:“為什么分數的分子、分母同時乘以相同的一個數，分數的大小會不變?”促使學生在、、所表示的圓形紙片、線段圖中，按這三個數分子、分母倍比關系的變化，進行“分”與“合”的操作觀察。在這個活動情境中，學生發現了不管份數“分”還是“合”，只要取出的部分還是原來那么多，分數的大小就不會改變。學生就這樣頓悟出了“分數基本性質”的原理。

3.關注增進交往，拓展認識和思維。宇宙間有“天地背則否，天地交則泰”之易理。一個人的認識和思維是有限的，不同的人通過交往，讓不同的認識和思維碰到一起，彼此的思想就會海闊天空。故數學課程標準在指出“數學教學是數學活動的教學”的同時，又進一步指出數學教學“是師生之間、學生之間交往互動與共同發展的過程”。這就告訴我們，“交往”是“數學活動”的又一顯著特征。新課程背景下的教學交往，內涵十分豐富，它是師生間、學生間、教學內容和相關信息與教師學生間的相互溝通與應答。它既包括教師與學生個體、與學生群體的“人——人”交往，也包括與教材與媒體、與情境的“人——物”交往。學生在“數學活動”中的思想和智慧、發現與創造無數精彩的動態生成，都是在這種深度的交往中碰撞出來的。上例中，學生與顯現教師數學智慧的“何靈分餅”這一情境交往，引發了學生、、大小關系的問題意識和積極的猜想。有的根據商不變的性質進行合情推理，作出、、大小相等的猜想;有的則根據、、的分子、分母均不相等的現象，作出、、這三個分數不相等這種仍具積極意義的猜想。通過匯報交流，不同的猜想得到了碰撞:到底誰的猜想正確?激起了大家弄清問題的欲望，推動了各小組操作驗證的活動，出現了用圓形紙片比較陰影部分的面積、用線段圖比較所取線段的長短等不同的驗證方法。再通過小組間相互的溝通交流，學生真切地感受到殊途同歸和智慧的融合。學生的認識和思維一次次地拓展，正是不斷增進的課堂交往碰撞的智慧火花。

4.關注積極體驗，感受價值和樂趣。從文本課程走向體驗課程，這是新課程改革的一個特征。學生通過“數學活動”自主建構數學模型的過程，就是學生體驗數學的過程。沒有學生真實的數學體驗，就談不上學生的自主建構。那種缺失積極體驗的活動，就不是有效的“數學活動”，而只能是表面的熱鬧和虛假的課堂活躍。因此，數學課程標準又特別指出:“讓學生在現實情境中體驗和理解數學”。積極的體驗是通過學生活動和交往，在具體的情境中激活已有的主體情感溝通，形成知識的內化和人格的升華，是一種自得自悟的生命狀態。上例中，教師激活了商不變的性質、分數與除法的關系、分數意義等學生的已有知識，讓學生忘我地投入到了“何靈分餅”的問題情境中，提出問題、積極猜想、動手驗證、溝通交流，在活動中不斷領悟、不斷發現、不斷修正自己的想法，特別是進入動手操作探索“為什么分數的分子、分母同時乘以或除以相同的一個數，分數的大小會不變”的道理時，學生更深切地體驗到了“分數的大小不是只簡單地看分子、分母的大小，而是要看分子這個部分在那個整體中的大小，占的多就大，占的少就小”。這種體驗使學生對前面所學的“分數意義”的理解進一步加深了，他已真切地感受到了分數是一種“比率”的本質。也正由于課堂中有了積極體驗的關注，使學生充分感受到了“數學活動”的價值和樂趣，學生才會說出:“我體會到，親自動手實驗是獲得知識最好的辦法。”也才會有學生說:“我感受到了動手實驗的樂趣。”

教學是一種藝術，其形式可以不拘一格;教學又是一種學科，其策略必須遵循規律。新課程背景下數學課堂教學的著力點當為一種根本策略，我們的數學老師只要緊緊扣住這個著力點，就可揚長避短，大顯身手，我們的數學課堂教學實踐也才會異彩紛呈。

作者單位

師宗縣教師進修學校

◇責任編輯:曹文◇