單擺周期公式的推廣及應(yīng)用

李丙剛

一、對(duì)單擺的認(rèn)識(shí)

1、單擺的定義

單擺是實(shí)際的擺（如鐘擺）的理想化，是指在一根不能伸長(zhǎng)且沒(méi)有質(zhì)量的線的下端系一質(zhì)點(diǎn)，這是一個(gè)理想化的模型。它忽略了次要因素，突出了主要因素，使定2、單擺的回復(fù)力在分析單擺運(yùn)動(dòng)時(shí)把重力分解，是因?yàn)閿[球沿圓弧方向是變速運(yùn)動(dòng)。既有向心加速度又有切向加速度。向心加速度改變速度的方向，切向加速度改變速度的大小。如圖，重力在切向方的分力提供回復(fù)力，在α＜10°時(shí)，α≈xt，F(xiàn)=-mgsinα=-mgα=-mgxl=-kx可以看成簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。

二、單擺周期公式T=2πl(wèi)g′的推廣及應(yīng)用

1、測(cè)量g是當(dāng)?shù)刂亓铀俣龋渲蠰擺長(zhǎng)。

2、時(shí)鐘快慢的成因與校正這兩點(diǎn)不再贅述。

在此主要討論公式字母g′的含義及變化。課本給出的單擺周期公式T=2πl(wèi)g中的g′，我們用代替稱“視重加速度”根據(jù)物體受力不同而變化，大致可以分為兩類：

一類——物體在擺動(dòng)過(guò)程中只有繩的拉力是變力，其它力均為恒力。此類可以認(rèn)為g′在數(shù)值上物體相對(duì)于懸點(diǎn)靜止（處在平衡位置）時(shí)懸線拉力跟質(zhì)量的比值g′=F璽m，現(xiàn)就此類情況常見(jiàn)題目整理如下：

例1：把單擺放在豎直方向運(yùn)動(dòng)的電梯中，電梯正以α勻加速上升，求單擺T。

析與解：物體在最低點(diǎn)靜止時(shí)，由牛頓第二定律F璽-mg=mα，故g′=F璽m=g+α，則T=2πl(wèi)g+α

同理可推知：①當(dāng)單擺在豎直向下加速的電梯中時(shí)T=2πl(wèi)g-α，②這樣當(dāng)單擺在自由落體的環(huán)境中或放入繞地運(yùn)行的衛(wèi)星中時(shí)，單擺將不再擺動(dòng)。T=2πl(wèi)g-α=l0

例2：把單擺放在傾角為θ的光滑斜面上，做小擺角擺動(dòng)。求周期T。

析與解：小球在平衡位置靜止不擺動(dòng)時(shí)受力（側(cè)面圖）如右圖，F(xiàn)璗=mgsinθ。此擺的回復(fù)力是重力沿斜面方向分力mgsinθ切向分力。故g′=F璗m=mgsinθm=gsinθ ∴T=2π1gsinθ

例3：?jiǎn)螖[放在以加速度α沿水平面向右的小車(chē)中，求擺動(dòng)周期T。

析與解：球的平衡位置懸線在豎直線左側(cè)如圖，球相對(duì)車(chē)靜止時(shí)線的拉力F璗=mg²+α²，故T=2π1g²+α²

例4：絕緣細(xì)線把帶正電的小球固定在A點(diǎn)，空間有豎直向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，且qE＞mg，求擺球振動(dòng)周期。

析與解：球平衡位置在懸點(diǎn)正上方，則g′=F璗m=qE-mgm。

∴T=2π1qE-mgm=2πmlqE-mg

二類——物體在擺動(dòng)過(guò)程中除繩的拉力外，只有重力作用是恒力（或有其它力，但力的方向始終在物體與懸點(diǎn)連線的直線上）即只有重力提供回復(fù)力。此類公式中g(shù)仍是重力加速度。現(xiàn)就此類情況常見(jiàn)題目整理如下：

例5：如圖，單擺處于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，擺球質(zhì)量m帶正電q，求振動(dòng)周期。

析與解：擺球在平衡位置靜止時(shí)不受洛倫茲力，擺球振動(dòng)起來(lái)后洛侖茲力始終垂直運(yùn)動(dòng)方向，不影響回復(fù)力（mgsinθ）則g′=F璗m=mgm=g ∴T=2πl(wèi)g

例6：兩球帶等量異種電荷電量q，用長(zhǎng)為L(zhǎng)的絕緣細(xì)線相連，一球固定，另一球懸掛做小擺角擺動(dòng)，求振動(dòng)周期。

析與解：擺動(dòng)過(guò)程中，小球受的庫(kù)侖力始終與運(yùn)動(dòng)方向垂直，回復(fù)力仍有重力提供，故“視重加速度”即是g，∴T=2πl(wèi)g

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”