因式分解的妙用

李亞軍

一、因式分解法解一元二次方程

例1：解方程：x（x-1）=2x-2

分析：因式分解法解一元二次方程的要求是使方程右邊為零左邊因式分解，所以本題不必拘泥于一般要求去把方程轉(zhuǎn)化為一般形式而應(yīng)直接把方程變形為：x（x-1）-2（x-1）=0后把左邊因式分解為（x-1）（x-2）=0從而解得方程的解為x₁=1，x₂=2、

二、利用因式分解解特殊方程

例2：x²+y²-6x+4y+13=0

分析：本題利用完全平方公式使方程左邊成為幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和，右邊為0。從而確定幾個(gè)非負(fù)數(shù)均為0求出x和y的值。

解：（x²-6x+9）+(y²+4y+4)=0

(x-3)²+(y+2)²=0

x-3=0 y+2=0

x=3 y=2

例3：已知整數(shù)x和y滿足x²-4y²=13，求x和y的值、

分析：一般情況一個(gè)方程無法求出幾個(gè)未知數(shù)的值，例2屬于一種特殊情形。本題也是另一種特殊情形。注意本題中的x和y都是整數(shù)，所以只要把方程左邊分解因式，右邊分解因數(shù)形成幾對方程組求出未知數(shù)的值。如果不是整數(shù)應(yīng)舍去。

解：x²-4y²=13

（x+2y）(x-2y)=13

∵x和y都是整數(shù)

∴x+2y與x-2y也是整數(shù)

于是可得

x+2y=1

x-2y=13或x+2y=13

x-2y=1或x+2y=-1

x-2y=-13或x+2y=-13

x-2y=-1

解方程組得

x=7

y=-3或x=7

y=3或x=-7

y=3或x=-7

y=-3

二、利用因式分解整體代入求值

例4：已知xy=3，x+y=5，求x²y+xy²的值、

分析：因?yàn)楦鶕?jù)同學(xué)們現(xiàn)有的知識還不能求出字母x與y的值所以應(yīng)借助代數(shù)變形的一些手段尋找相同整體進(jìn)行求值。

解：x²y+xy²=xy(x+y)=3×5=15

三、利用因式分解求特殊因數(shù)

例5：求出（232+1）（216+1）（28+1）在60以內(nèi)的正整數(shù)因數(shù)。

解：264-1=（232+1）（232-1）=（232+1）（216+1）（216-1）=（232+1）（216+1）（28+1）（28-1）=（232+1）（216+1）（28+1）（24+1）（24-1）=（232+1）（216+1）（28+1）（24+1）（2²+1）（2+1）（2-1）=（232+1）（216+1）（28+1）×17×5×3×1

所以264-1在60以內(nèi)的正整數(shù)因數(shù)有1，3，5，15，17，51。

四、因式分解判定代數(shù)式值的正負(fù)

例6：判定關(guān)于x的一元二次方程a²x²-（a²+b²-c²）x+b²=0的根的情況，其中a，b，c是三角形的三邊。

分析：我們知道對含有字母系數(shù)的一元二次方程在使用根的判別式判定方程根的情況的過程中正常是使用配方法判定根的判別式的值的正負(fù)情況，實(shí)質(zhì)我們更應(yīng)清楚配方法適用于字母系數(shù)取任意實(shí)數(shù)即原題沒有規(guī)定字母去值范圍時(shí)。本題中字母系數(shù)并不可取任意實(shí)數(shù)，所以對根的判別式應(yīng)當(dāng)因式分解后結(jié)合字母的大小情況在對每個(gè)因式作出判定的基礎(chǔ)上再對根的判別式值作出判定。

解：根的判別式=（a²+b²-c²）²-4a²b²=（a²+b²-c²+2ab）（a²+b²-2ab）=［（a+b）²-c²］［（a-b）²-c²］=（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）

∵a、b、c是三角形三邊

∴a＞0，b＞0，c＞0，a+b＞c，a+c＞b，a-b＜c

∴a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b+c＞0，a-b-c＜0

∴（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（a-b-c）＜0

∴原方程無實(shí)數(shù)解

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”