特例法

2000年高考數學題(廣東省卷，A類)第11小題:

過拋物線y=ax2(a>0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是p，q.則 等于

(A) 2a(B)(C)4a (D)

解法一:由y=ax2得拋物線的標準方程是x2=，則焦點坐標F(0 ， )，設直線PQ的斜率為k，則直線PQ的方程是:y=kx+ .

解方程組 消去參數y得ax2=kx+ (a>0)，

整理得:4a2x2－4akx－1=0

由韋達定理得:x1+x2= ，x1x2=

∴

故選(C).

此法思維直接，入手容易，但解題過程曲折，運算繁雜，至少要化十分鐘時間.在高考中，解一道選擇題化了十分鐘，在整卷時間分配上，超時告負，那么能否找到更簡便而有效的方法呢?首先，觀察此題有一個重要特征是四個答案都有含有參數a.顯然，結論與a的有效值無關，故a可選取特殊值進入運算，達到化繁為簡的目的.類似地，拋物線的焦點弦(過焦點與拋物線相交的兩點間線段)中，通徑長最短，(人教版《解析幾何》P105第5題)且位置最特殊，選取線段PQ在特殊位置處，使問題變得更簡潔.事實上，

當且僅當α=0°時 取得最小值

解法二:取a=2代入方程得拋物線的標準方程是:

x2= y

焦點F(0，)，直線PQ∥x軸，它的方程是y= ，

代入拋物線方程得:

x2=

∴x1，2= ，

又由拋物線的對稱性得 ，

故選(C)

顯然，相比之下，法二中以數字運算為主，難度降底了很多，學生容易掌握，并在考試中爭取寶貴時間，戰略上使自己占據了有利地位..

而參數的特殊值的選取也有學問，例如，在本題中，如果令a=1，則答案中C，D相同，不能確定最終結果;但如果取a= ，則答案中A，B相同，它們都不影響選取正確選項.所以，對特例法中的參數選取要使得四個被選答案各異，否則會白費功夫.

在解單項選擇題中……