從錯解的現(xiàn)象中探究數(shù)學的本質(zhì)

[案例背景]

在圓錐曲線的教學中，經(jīng)常會涉及到這樣的問題:“以已知點為中點的直線交已知圓錐曲線于兩點，求該直線的方程” .這類問題我們經(jīng)常稱其為“中點弦”問題.解決的方法多采用先設(shè)兩個交點的坐標，再將兩坐標代入圓錐曲線方程，然后將這兩個方程相減，再利用中點坐標公式和斜率公式求出所求直線的斜率，從而利用點斜式求出直線方程.這就是我們中學老師自己命名的“點差法”.別外韋達定理也是圓錐曲線中經(jīng)常使用的方法，學生比較喜歡，用的也比較熟練.但在使用的過程中學生往往會碰到一些不可思議，似是而非的問題，而這些問題恰恰反映了學生沒有很好地抓住數(shù)學的本質(zhì)，所以在求解時才會出現(xiàn)這樣或那樣的錯誤.

作者在以自主學習為前提，以探究建構(gòu)為目的，設(shè)計了一個錯解評析過程，意在強調(diào)抓住數(shù)學本質(zhì)的重要性.

[案例過程]

問題1：(課本習題)已知雙曲線 ，過點P（1，1）能否作一條直線 ，與雙曲線交于A，B兩點，且點P是線段AB的中點？

展示學生的錯解: 設(shè)A（x1，y1）B(x2，y2)，代入雙曲線方程，得 …(1)

… (2)， 由(1)-(2)得 ，

由題意得代入上式得直線AB的斜率為2，所以直線 存在且方程為y=2x-1.

錯解原因分析及解決策略:

(1)數(shù)形結(jié)合:讓學生畫出已知雙曲線和求得直線的圖象，觀察直線與雙曲線的位置關(guān)系，很容易發(fā)現(xiàn)所求的直線根本不與雙曲線相交.

(2)本質(zhì)分析:讓學生思考在上面的解題過程中到底忽略了哪個最本質(zhì)的數(shù)學條件? (直線 與雙曲線交于A，B兩點).這個……