輔助構(gòu)造，便利解題

[摘要] 根據(jù)問題與條件間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用輔助構(gòu)造，會(huì)把問題轉(zhuǎn)化或更為直觀、簡單。運(yùn)用這種方式比用其它方法來得直接、快捷。輔助構(gòu)造工具可以構(gòu)造圖形、構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造模型、構(gòu)造方程。

[關(guān)鍵詞] 構(gòu)造思想 輔助構(gòu)造 幾何圖形 函數(shù) 方程 模型

[Abstract]The proper usage of ancillary structures in accordance with the relationship between the problem and the conditions will make the transformation of a problem more intuitive and simple. In this way， it can be solved more direct and faster than the use of other methods. Supporting structure can be constructed into graphics tools， constructor， construction models， and structural equation.

[Key words]： Structural thinking Supporting structure Geometry Function Equation Model

構(gòu)造思想是數(shù)學(xué)中的一種基本思想，它是指通過構(gòu)造來建立數(shù)學(xué)理論，解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想。所謂輔助構(gòu)造，就是構(gòu)建結(jié)論或指出達(dá)到某種目的的方式和途徑。就像走路一樣，我們要走向目的地是結(jié)論，從條件了發(fā)，不斷從一處轉(zhuǎn)向另一處，逐漸向結(jié)論靠攏，但有些地方卻無法通過，需要修橋筑路，這就需要輔助構(gòu)造。

在用輔助構(gòu)造方法解題過程中，必須直觀、定量，并且必須能夠在有限步驟內(nèi)完成，即是可行的。下面就結(jié)合具體例子來進(jìn)行說明。

一、輔助構(gòu)造幾何圖形

幾何圖形本身具有直觀、簡潔等特點(diǎn)，又不失嚴(yán)謹(jǐn)性，所以構(gòu)造圖形作為輔助工具在解題中經(jīng)常被采用。

（一）利用等面積，長度不等求解

例1：如圖1-1，證明 。

分析：1.構(gòu)造一個(gè)等邊長的圖形，將 ，轉(zhuǎn)化成

，使得 ；

2.去掉兩圖中相等的面積，利余部分面積仍相等，即： 。

例2：證明 ，其中 。

分析：1. 以為直徑畫圓，如圖1-2 ；

2.設(shè) ，則 ；

3.作 ，在 中有：

#8226; ；

4.∵ ∴ ，即；

當(dāng) 時(shí)

即“ ” 時(shí) ；

綜上：即證 ，其中 ，且“ ”時(shí)“=”成立。

例3：如圖1-3是三個(gè)面積相等的正方形，證明： 。

分析：若能將 表示成直角，立得所證。

1.構(gòu)造一個(gè)原圖形面積2倍的圖形；

2.根據(jù)三角形的全等可得到 ；

3.只要 即可，設(shè)原正方形的邊長為1，則 ，

∴ 是等腰直角三角形，即： ；……