重視問題反思，發展數學思維

不少學生平時解題只重解題過程及結果，往往忽略對問題的反思，學生若能在對問題的反思中獲取知識，則有助于拓寬思路，防止錯解，克服思維定勢，同時可以不斷積累經驗，培養思維的發散性、全面性，增強創造性解決問題的能力。

一、反思所學知識，形成完整的知識體系

問題的設計應該建立在所學知識的基礎上，隨著學生學習的深入，所學知識越來越多，知識面越來越寬。因此在解完一道問題后，可以引導學生反思這道題考查了哪些所學的知識點，有利于學生加深對所學知識的記憶，拓展知識體系。

在教學球的接切問題時，我舉了一道例子：

正三棱錐S-ABC中，M，N分別為SC，BC的中點，MN⊥AM，SA=2 ，求正三棱錐S-ABC的外接球的體積。解題后我讓學生總結了題目所考查的知識點：正三棱錐的性質：對棱垂直，側面為全等的等腰三角形線面垂直的判定定理；“墻角型”三棱錐的外接球半徑求法。這道題考查了立體幾何的重要性質、定理、公式，同時，錐球的內在聯系通過“接”得以實現，總結了這些以后，學生對所學的知識就有了更深的認識了。

二、反思解題規律，解題思想方法，探求共性，提高解題能力

同一類題目解法一般都有其規律性，一般蘊涵在一定的數學思想方法下，因此一個問題解決后，要引導學生對解題過程中反映的數學思想、方法、解題規律進行反思，從中總結、概括找出普遍適用的東西，以現在解決的問題的經驗幫助今后問題的解決。在講解2007年高考福建理科卷20題時我引導學生一起總結了這道題所考查的思想方法、解題的規律，同時對問題做了變式，讓學生能運用所總結的方法進行開放式探究：

如圖，已知點F（1，0），直線l∶x=-1，p為平面上的動點，過p作直線l的垂線，垂足為點Q，且 #8226; = #8226; 。

（Ⅰ）求動點的p軌跡C的方程；

（Ⅱ）過點F的直線交軌跡C于A，B兩點，交直線l于點M，已知 =λ， =λ，求λ +λ 的值。

在解題的過程中學生通過對原問題的解題思路、思想方法的反思，領會了同類問題的解法，培養了觸類旁通的能力，原問題變式的求解對學生來說就沒有多大的困難了。

三、反思思維過程，開闊思路，培養思維靈活性

解題的關鍵是從未知和已知尋找解題途徑，在做完一道題后的反思，不僅要進行總結和檢驗，還應該根據題目的特征與特殊元素進行多角度、多方位的觀察、聯想，反思是否還有新的解題途徑，有更佳、最簡單的解法，使學生思維的靈活性在多解中得到培養和發展。

例題：橢圓 + =1的焦點是F 、F ，橢圓上一點P滿足PF ⊥PF ，下面結論正確的是（ ）。

（A）P點有兩個 （B）P點有四個 （C）P點不一定存在 （D）P點一定不存在

常規思路：求利用焦半徑公式結合勾股定理求點P坐標看個數。

思路2：由橢圓性質知：當p點在短軸端點處∠F PF 最大，想到由∠F PF 大小來判別點P個數。

解：設∠F PF =2α，tanα= ＜1，α＜ ，∴此時∠F PF 為銳角，與題設矛盾。故選D。

思路3：由PF ⊥PF 聯想圓的定義知：P在以F ，F 為直徑端點的圓上，即判別以F ，F 為直徑端點的圓與橢圓的交點個數，從而想到更簡捷的解法。

解：以F F 為直徑構圓，知：圓的半徑r=c=3＜4=b，即圓與橢圓不可能有交點。故選D。

通過引導學生反思多種解法，不僅培養了學生思維的多樣性，同時還揭示了同類問題的常用解題技巧，而且有助于學生能力的提高。

四、反思錯解原因，提高思維全面性

學生在解題中出現的錯誤有知識缺陷造成的，又有能力缺陷造成的，也有邏輯、策略上造成的，更有非智力因素如思維定勢造成的，應以此為切入點，正確引導學生進行反思。

例：光線每通過一塊玻璃，其強度要失掉10%，把幾塊同樣的玻璃重疊起來，通過它們的光線的強度減弱到原來強度的 以下，那么至少重疊______塊玻璃。（lg3=0.477）

學生這樣解：設玻璃數需要n塊。∵（1-10%） ＜ ，兩邊取以10為底的對數，得nlg0.9＜lg =-lg3，∴n＜ = = = ≈10.4。

發現求得的結果變成是至多10塊，與題意要求至少多少塊不符，錯誤原因在哪呢？我引導學生反思：運算變形不等式兩邊同除lg0.9時沒注意lg0.9并非為正數，而為負數。

失誤的原因：解不等式時受心理定勢影響與解方程等同起來，未判別除數符號，導致錯誤。

因此，引導學生對問題多角度的解后反思能促進學生從新的角度，多層次、多側面地對問題及解決問題的思維過程進行全面的分析與思考，從而深化對問題的理解，提升學生的數學能力，這是我們教師在教學實踐中應當嘗試的探索。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”