淺析高職數學思想方法教學

摘要： 本文通過實例分析，介紹了數形結合、換元、轉化、分類討論的數學思想方法，指出了高職數學思想方法教學的重要性。

關鍵詞： 數學思想方法 教學 高職

隨著數學教育改革的不斷深化，重視數學思想方法的教學已成為廣大數學教師的共識。在平時的教學過程中，教師不僅要注重概念、性質、公式、定理等表層知識的講授，更要注重深層知識即思想方法的教學，使學生在知識學習的同時，掌握其中的數學思想方法。“授人以魚，不如授人以漁”，講的就是思想方法的重要性。以下是我從教幾年總結的對于高職學生來說重要的數學思想方法。

1.數形結合的思想方法

“數”與“形”是數學中既有區別又有聯系的兩個對象。著名數學家華羅庚曾精辟地指出：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。”運用數與形相結合的思想方法能使抽象的數學概念和復雜的數學關系變得形象直觀，也更容易讓學生理解和接受。

例1：定義在區間（-∞，+∞）的奇函數f（x）為增函數，偶函數g（x）在區間［0，+∞）的圖象與f（x）的圖像重合，設a＞b＞0，給出下列不等式：

（1）f（b）-f（-a）＞g（a）-g（-b）（2）f（b）-f（-a）＜g（a）-g（-b）

（3）f（a）-f（-b）＞g（b）-g（-a）（4）f（a）-f（-b）＜g（b）-g（-a）

其中成立的是（ ）。

A.（1）與（4）B.（2）與（3）C.（1）與（3）D.（2）與（4）

分析：此題并未給出f（x）與g（x）兩個函數具體的函數式，因此無法采用一般的解題方法，但由題意可畫出大致圖形（見圖一）：

顯然有f（b）-f（-a）＞g（a）-g（-b），f（a）-f（-b）＞g（b）-g（-a），故選C。

2.換元的思想方法

換元的思想方法是用一個新的變量去代替原來數學關系中的部分式子，以創造出新的條件，使問題化難為易。在授課中，應該注意培養學生的換元思想。

例2：求函數f（x）=（e -3） +（e -3） 的值域。

分析：函數f（x）=（e -3） +（e -3） 是無理函數，學生感到生疏，不易找到解題思路。可通過變量代換，將無理函數轉化為有理函數，化生疏為熟悉。

解：令t=（e +e ），則t∈［2，+∞）

f（x）=e -6e +9+e -6e +9

=t -6t+16=（t-3） +7≥7

故函數的值域［7，+∞）。

3.轉化的思想方法

轉化的思想方法就是將所研究的數學對象在一定條件下轉化為另一種研究對象的數學思想方法，其目的就是將問題的條件逐步向問題的結論轉化。

例3：已知b +a =1，0＜a＜1，0＜b＜1，證明：a +b =1。

分析：此題條件中出現了 、 ，我們可以把它看成兩個斜邊同為1的直角三角形，不妨設其中一個直角三角形的直角邊為a、 ；另一直角三角形的直角邊為b、 ，并設a邊所對的銳角為α，b邊所對的銳角為β。如果將兩個直角三角形的斜邊合并且使得角α和β相鄰，就組成了一個四邊形（見圖二）。

證明：根據已知條件（如圖）得

b +a =sinβcosα+sinαcosβ

=sin（α+β）

=1

所以α+β=

則此四邊形為矩形，從而得a +b =1。

4.分類討論的思想方法

分類討論的思想方法，就是根據數學對象本質屬性的共同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的方法，便于理清思路，化繁為簡。

例4：由數字1、2、3、4、5組成沒有重復數字，且數字1和2不相鄰的五位數，求這種五位數的個數。

分析：此題為排列問題，顯然必須分類討論幾種情況。

解：按所在的位置可分為三類：

①1位于萬位時，2有p種排法，其余數字有p種排法，故第一類有pp=18（個）；

②1位于個位時，2有p種排法，其余數字有p種排法，故第二類仍有pp=18（個）；

③1位于中間位時，1有3種排法，2有2種排法，其余數字有p種排法，故第三類有3×2×p=36（個）；

所以這樣的五位數共有18+18+36=72（個）。

除以上所列四種數學思想方法之外，還有建立函數方程、正難則反的思想方法等，在此不一一列舉。這些重要的數學思想方法之間不是互相排斥，而是相互滲透、相互促進的。教師在教學過程中應該注意思想方法之間的有機結合，注重學生思維活動的訓練和培養，旨在提高學生的數學能力、數學素質。

當然，進行數學思想方法的教學決不是一朝一夕、一蹴而就的事情，教師應該遵循教學規律，在表層知識教學的基礎之上進行有效的深層知識及思想方法的教學，而且應該把它貫穿于教學過程的始終。在實施的過程當中，會遇到不少困難，比如數學教材對數學思想方法體現不夠、不深刻，學生的接受能力參差不齊等，這就要求我們數學教研室全體教師要多討論、多探索，相信經過大家不懈的努力，數學思想方法的教學一定會取得不錯的進展。

參考文獻：

［1］梁杏儀.在教學中如何讓學生掌握數學思想方法.廣西民族學院學報，2002.5.

［2］王文省.王樹澤.郭文彬.數學思想方法及其功能.天津市教科院學報，2006.4.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”