隨機事件概率的類型及求法

在初中階段，隨機事件的概率主要有三種類型：統(tǒng)計概率、古典概率和簡單的幾何概率，它們的意義及求法各不相同。因此，求隨機事件概率，應(yīng)針對不同的類型靈活選用不同的方法求解。下面舉例說明。

一、統(tǒng)計概率

在隨機試驗中，在一定條件下大量重復(fù)進行同一試驗，事件A發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在某一個常數(shù)附近擺動，這個常數(shù)就是事件A發(fā)生的概率。這種由試驗次數(shù)很大時的頻率估計出的概率就是統(tǒng)計概率。

例1.“六#8226;一”兒童節(jié)，某玩具超市設(shè)立了一個如圖1所示的可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，開展有獎購買活動。顧客購買玩具就能獲得一次轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤的機會，當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在哪一區(qū)域就可以獲得相應(yīng)獎品。下表是該活動的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：

下列說法不正確的是（）。

A.當(dāng)n很大時，估計指針落在“鉛筆”區(qū)域的頻率大約是0.70

B.假如你去轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，獲得鉛筆的概率大約是0.70

C.如果轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2000次，指針落在“文具盒”區(qū)域的次數(shù)大約有600次

D.轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤10次，一定有3次獲得文具盒

分析：由表格可以看出，指針落在“鉛筆”區(qū)域的頻率總在0.70附近波動，而且近似等于0.70，因此可估計，當(dāng)n很大時，指針落在“鉛筆”區(qū)域的頻率大約是0.70，選項A正確。

由表格可知，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤次數(shù)最多的是1000次，此時落在“鉛筆”區(qū)域的頻率是0.69。因為0.69≈0.70，根據(jù)頻率與概率的關(guān)系可知，轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤一次，獲得鉛筆的概率大約是0.70，選項B正確。

根據(jù)題意可知，指針落在“文具盒”區(qū)域的頻率大約是1-0.7=0.3，所以轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2000次，指針落在“文具盒”區(qū)域的次數(shù)大約有2000×0.3=600（次），選項C正確。

因為轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤發(fā)生的結(jié)果具有隨機性，所以轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤10次，并不一定有3次獲得文具盒，選項D不正確。

解：選D。

總結(jié)：通過試驗用頻率估計概率的大小，如果得到了一組頻率值，那么將試驗次數(shù)最多的頻率值的最后一個有效數(shù)字四舍五入，作為概率的估計值。

二、古典概率

古典概率具有兩個基本特征：（1）試驗的所有可能結(jié)果只有有限個；（2）每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同。

對于古典概率，如果一個試驗有n個等可能的結(jié)果，當(dāng)其中的m個結(jié)果之一出現(xiàn)時，事件A發(fā)生，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）= ，其中表示事件A發(fā)生可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，n表示一次試驗所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)。

例2.小華與小麗設(shè)計了A、B兩種游戲：

游戲A的規(guī)則：用3張數(shù)字分別是2，3，4的撲克牌，將牌洗勻后背面朝上放置在桌面上，第一次隨機抽出一張牌記下數(shù)字后再原樣放回，洗勻后再第二次隨機抽出一張牌記下數(shù)字。若抽出的兩張牌上的數(shù)字之和為偶數(shù)，則小華獲勝；若兩數(shù)字之和為奇數(shù)，則小麗獲勝。

游戲B的規(guī)則：用4張數(shù)字分別是5，6，8，8的撲克牌，將牌洗勻后背面朝上放置在桌面上，小華先隨機抽出一張牌，抽出的牌不放回，小麗從剩下的牌中再隨機抽出一張牌。若小華抽出的牌面上的數(shù)字比小麗抽出的牌面上的數(shù)字大，則小華獲勝；否則小麗獲勝。

請你幫小麗選擇其中一種游戲，使她獲勝的可能性較大，并說明理由。

分析：先分別求出游戲A、B中游戲雙方獲勝的概率，然后再從中選擇。

解：對游戲A，用列表法列出所有可能的結(jié)果

∴所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有9種，其中兩數(shù)字之和為偶數(shù)的有5種。

∴游戲A小華獲勝的概率為 ，小麗獲勝的概率為 。

對游戲B：用列表法列出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)

∴所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有12種，其中小華抽出的牌面上的數(shù)字比小麗大的有5種。

∴游戲B小華獲勝的概率為 ，小麗獲勝的概率為 。

綜合知，選擇游戲B對小麗有利，獲勝的可能性大于小華。

總結(jié)：在隨機事件中，如果是有限等可能的二元事件，一般用列法求解。也就是說，涉及兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)較多，可通過列表格，不重不漏地把各種結(jié)果列舉出來利用公式求解，這種方法叫做列表法。但要注意“摸出后放回再摸”與“摸出后不放回再摸”的區(qū)別。前者每次摸的所有可能的結(jié)果數(shù)與可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)都不發(fā)生變化；而后者每次摸的所有可能的結(jié)果數(shù)與可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)都發(fā)生了變化（列表時一般將不能再摸到的表格劃去）。

三、簡單的幾何概率

隨機事件的發(fā)生具有無限等可能性的特征，一般利用圖形的面積或線段的長度來計算概率，就是簡單的幾何概率。常見的形式主要有兩種：

（1）如果區(qū)域M上有一個區(qū)域A，假設(shè)每次試驗?zāi)軌蚵湓趨^(qū)域M上的任意一點處，并且落在任意一點的可能性總是相同的。設(shè)區(qū)域M的面積為S ，區(qū)域A的面積為S ，那么一次試驗落在區(qū)域A上的概率為P（A）= 。

（2）如果線段上（其長度也記為l）有一條線段m（其長度也記為m），假設(shè)每次試驗?zāi)軌蚵湓诰€段l上的任意一點處，并且落在任意一點的可能性總是相同的，那么一次試驗落在線段m上的概率為P（m）= （其中l(wèi)、m表示線段的長度）。

例3（2008年徐州市中考題）.如圖2，小明隨意向水平放置的大正方形內(nèi)部區(qū)域拋一個小球，則小球停在小正方形內(nèi)部（陰影）區(qū)域的概率為（）。

A. B. C. D.

分析：分別求出兩個正方形的面積，則所求事件的概率就是小正方形面積與大正方形面積之比。

解：設(shè)小正方形的邊長為a

∵圓的直徑是小正方形的對角線，

∴圓的直徑長為 a。

∵大正方形的邊長等于圓的直徑，

∴正方形的邊長為 a。

∴P（小球停在小正方形內(nèi)部區(qū)域的概率）= = ，選C。

例4（2008年安徽省中考題）.某火車站的顯示屏，每隔4分鐘顯示一次火車班次的信息，顯示時間持續(xù)1分鐘，某人到達該車站時，顯示屏上正好顯示火車班次信息的概率是（）。

A. B. C. D.

分析：本題具有無限等可能的特征，屬于簡單的幾何概率，可利用線段表示時間，利用線段的長求概率。

解：如圖3，用線段AC表示每隔4分鐘顯示一次火車班次的信息，其中線段BC表示顯示時間持續(xù)1分鐘。

設(shè)BC=1，則AC=5。

∴P（正好顯示火車班次信息）= ，選B。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”