多雜質(zhì)零程過程的臨界密度

摘要： ZRP的臨界密度是我們所關(guān)注的，同樣雜質(zhì)ZRP的臨界密度是也是我們關(guān)注的。在單雜質(zhì)ZRP中， 已經(jīng)能解析得出臨界密度，我們推廣為多雜質(zhì)ZRP同樣解析可以求出臨界密度，同時(shí)我們引入局域化系數(shù)數(shù)值得出臨界密度。

關(guān)鍵詞： ZRP模型 凝聚 臨界密度 隨機(jī)動(dòng)力學(xué)規(guī)則 局域化系數(shù)ξ

1.引言

熱溫平衡的遲豫過程是非平衡態(tài)系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)和研究，一般都是建立在滿足細(xì)致平衡條件［１］主方程的基礎(chǔ)上。細(xì)致平衡條件（對各態(tài)經(jīng)歷的系統(tǒng)）是一個(gè)系統(tǒng)開始是非平衡最終達(dá)到穩(wěn)態(tài)，能找出勢函數(shù)在穩(wěn)態(tài)時(shí)給定正則分布。

ZRP（(Zero-Range Process零程過程）的最重要的性質(zhì)是穩(wěn)態(tài)有因子的乘積（product of factor）［２］。這意味著找出這個(gè)組態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率，就是單一個(gè)位置權(quán)重的成績，穩(wěn)態(tài)概率從穩(wěn)態(tài)條件代表概率流歸因于跳進(jìn)這個(gè)的組態(tài)和跳出這個(gè)組態(tài)的平衡條件來定義。單一位置權(quán)重在穩(wěn)態(tài)概率代表著重要的角色。給定一個(gè)跳躍概率函數(shù)，能找到單一個(gè)位置權(quán)重解答這個(gè)遞歸式。

除了ZRP凝聚和躍遷概率隨著在位置上的占據(jù)數(shù)的增大而遞減有關(guān)的凝聚裝置外，凝聚和無序［３］［４］有關(guān)，后面的凝聚裝置是相當(dāng)于玻色—愛因斯坦凝聚。一個(gè)特別簡單的系統(tǒng)［５］展示了相當(dāng)于玻色—愛因斯坦凝聚，這個(gè)系統(tǒng)為就位置1的躍遷概率為p（p＜1），其它位置上的粒子的躍遷概率為1，滿足周期性邊界條件。這個(gè)系統(tǒng)中在密度足夠高就有在低概率位置上有粒子凝聚。

在文獻(xiàn)中研究了具有單一個(gè)雜質(zhì)一個(gè)簡單的模型，和多雜質(zhì)中的模型不同，這個(gè)模型展示上面提到的兩種凝聚裝置的特點(diǎn)（公車—路和無序?qū)е碌模Ｔ跓崃W(xué)極限，穩(wěn)態(tài)可以得到預(yù)測凝聚時(shí)的臨界密度。然而，在有限系統(tǒng)顯示了與預(yù)測的相偏離。特別的，在低密度，流相還繼續(xù)出現(xiàn)比在熱力學(xué)極限下允許的更高的密度。這個(gè)結(jié)果在流上是過沖的，超過了熱力學(xué)極限的飽和值。在有限的系統(tǒng)中的相關(guān)結(jié)果已經(jīng)在交通流模型［５］中報(bào)道了。在文獻(xiàn)中文章的目的是詳細(xì)分析在有限的位置上過沖是如何發(fā)生的。現(xiàn)在因?yàn)閆RP動(dòng)力學(xué)是粒子數(shù)守恒的，自然我們應(yīng)該考慮的是正則系綜。然而，發(fā)現(xiàn)模型的分析用巨正則系綜分析更直接。在無限系統(tǒng)中兩個(gè)系綜是等價(jià)的［８］。我們根據(jù)單雜質(zhì)的臨界密度推廣到多雜質(zhì)的系統(tǒng)的臨界密度。

2.單雜質(zhì)ZRP［６］

我們考慮有M個(gè)位置，標(biāo)有μ=1...M的一維格子，L個(gè)不可區(qū)分的粒子，每個(gè)位置可以容納（0...L）個(gè)粒子，位置上的粒子相鄰的位置跳躍，粒子的躍遷在位置1上的躍遷概率隨著在粒子數(shù)的增加而減小u （l）=β（1+ ）l為在位置1上的粒子數(shù)，其他位置上的粒子躍遷概率為1。滿足周期性邊界條件。

穩(wěn)態(tài)概率分布可以用來計(jì)算系統(tǒng)的其他穩(wěn)態(tài)性質(zhì)。其中最重要的一個(gè)性質(zhì)就是一個(gè)位置上的平均躍遷概率v，稱之為流。在穩(wěn)態(tài)時(shí)和位置無關(guān)

對于這單雜質(zhì)時(shí)

在單雜質(zhì)模型中，粒子躍遷概率表達(dá)式為

u （l）=β（1+ ）（3）

u （l）=1（μ＞1）

3.多雜質(zhì)ZRP

現(xiàn)在我們把單雜質(zhì)的非均勻的系統(tǒng)推廣到多雜質(zhì)的非均勻系統(tǒng)下的臨界密度。我們考慮有M個(gè)位置，L個(gè)粒子的一維格子系統(tǒng)，每個(gè)位置上可以容納任意（0...L）整數(shù)個(gè)粒子，其中有百分量為a的位置上的粒子的躍遷概率比其它位置上的小，滿足式為u（l）=β（1+ ），l是在離開位置上的粒子數(shù)。有百分量為（1-a）的位置上的粒子躍遷概率為1。位置上的粒子向右的方向運(yùn)動(dòng)。滿足周期性邊界條件。

我們用F（z）來標(biāo)志雜質(zhì)部分的

非雜質(zhì)的部分

F （z）= （5）

單雜質(zhì)的推導(dǎo)的密度公式［６］可得出在多雜質(zhì)情況下的密度表達(dá)式

說明了在雜質(zhì)位置上的粒子的平均占據(jù)數(shù)占系統(tǒng)的百分量為a，非雜質(zhì)部分占百分量為（1-a）。根據(jù)在均勻系統(tǒng)下求得臨界密度是在z→β得到臨界值 ，而在z→β時(shí)，＜n ＞的臨界值為 。所以可以在這樣的系統(tǒng)下的臨界密度為

ρ = +（1-a） （7）

通過計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬來得出多雜質(zhì)系統(tǒng)下的臨界密度。現(xiàn)給出圖（1）通過數(shù)值模擬得出的局域化系數(shù)ξ隨密度ρ的變化關(guān)系。這里我們a=0.3，b=4，M=500，β=0.2，由式（7）我們可以很容易地解析求得在這種情況下的臨界密度為ρ =0.325，在圖中我們可以看出在密度在0.3左右開始有凝聚現(xiàn)象，結(jié)果和理論值符合。

4.結(jié)論

我們簡單介紹了單雜質(zhì)ZRP，然后把單雜質(zhì)的ZRP推廣為多雜質(zhì)的ZRP，并利用巨正則系綜解析的系統(tǒng)的臨界密度。并且通過數(shù)值模擬得出局域化系數(shù)隨密度的變化關(guān)系，可以得出多雜質(zhì)ZRP的臨界密度。這樣在實(shí)際生活中遇到這種模型，可以得出凝聚時(shí)的密度值。

參考文獻(xiàn)：

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注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”