《橢圓及其標準方程》的說課稿

摘要： “橢圓”是學(xué)生在掌握了直線方程和曲線方程知識后，有別于圓方程的一節(jié)內(nèi)容。它是曲線方程的進一步特殊化，是歸屬于圓錐曲線第一個既特殊又常見的圖形。學(xué)好橢圓能為學(xué)生在后面學(xué)習雙曲線、拋物線打下良好的基礎(chǔ)，也為將來在物理學(xué)上的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞： 橢圓 標準方程

一、 教材分析

（一）教材的地位和作用

“橢圓”是中國勞動出版社出版的全國技工學(xué)校通用教材（第三版）第5章第6節(jié)的內(nèi)容，在直線方程和曲線方程的知識后，有別于圓方程的一節(jié)內(nèi)容。它是曲線方程的進一步特殊化，是歸屬于圓錐曲線的第一個既特殊又常見的圖形，學(xué)好橢圓能為學(xué)生后面學(xué)習雙曲線、拋物線打下良好的基礎(chǔ)，也為將來在物理學(xué)上的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。

（二）教學(xué)目標

用方程的思想來解決幾何問題是解析幾何的精髓。本著培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、幾何問題代數(shù)化等解析幾何思想方法及辯證思維能力的目的，我把教學(xué)目標具體定為：

1.準確理解橢圓定義。

2.掌握橢圓標準方程。

3.會初步從橢圓的定義出發(fā)求解標準方程。

（三）教學(xué)重點和難點

1.重點：掌握橢圓定義和根據(jù)條件確定標準方程。

2.難點：根據(jù)條件確定標準方程。

二、學(xué)情分析

我校中技生盡管在初中數(shù)學(xué)的成績大多屬中下游，但橢圓是學(xué)生在日常生活中比較熟悉的曲線圖形，而且剛剛學(xué)了圓的方程和曲線與方程的關(guān)系，對坐標軸的引入和點軌跡方程有一定的了解。按照前蘇聯(lián)心理學(xué)家維果茨基的“最近發(fā)展區(qū)”理論，學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”就是學(xué)生思維發(fā)展過程中，現(xiàn)有發(fā)展水平與潛在發(fā)展水平之間的差異和橋梁?！白罱l(fā)展區(qū)”理論指導(dǎo)下的數(shù)學(xué)教學(xué)，其實質(zhì)就是要把學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”轉(zhuǎn)化為“現(xiàn)有發(fā)展水平”的過程。從本節(jié)內(nèi)容看，橢圓的知識在學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)，通過教師的啟發(fā)、點撥和對數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)觀念的滲透，學(xué)生掌握本節(jié)課知識不會存在太多的障礙。

三、教法分析

中技生雖然正值身心發(fā)展的鼎盛時期，思維活躍，又有了相應(yīng)的知識基礎(chǔ)，所以他們樂于探索、敢于探究。但中技生的邏輯思維能力尚屬經(jīng)驗型，運算能力有待提高?；谏鲜龇治?，我采取的教學(xué)方法是“問題誘導(dǎo)—啟發(fā)討論—探索結(jié)果”以及“直觀觀察—歸納抽象—總結(jié)規(guī)律”的一種研究性教學(xué)方法（多媒體說明，針對問題進行討論），注重“引、思、探、練”的結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習方式發(fā)生轉(zhuǎn)變，采用激發(fā)興趣、主動參與、積極體驗、自主探究的學(xué)習，形成師生互動的教學(xué)氛圍。

四、學(xué)法分析

教學(xué)矛盾最主要是學(xué)生的學(xué)。學(xué)是中心，會學(xué)是目的。有效的教學(xué)學(xué)習活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的重要方式，也是本節(jié)課中學(xué)生學(xué)習新知識的主要方法。運用遷移的方法，學(xué)生能逐漸掌握并運用已有的舊知識去解決新問題的方法，根據(jù)解析幾何的特點，這節(jié)課主要教給學(xué)生“動腦想，會變形，能證明，勤鉆研”的研討式學(xué)習方法。讓學(xué)生主動參與教學(xué)過程，使學(xué)生“學(xué)”有所“思”，“思”有所“得”，“練”有所“獲”，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的美，有成功感，從而提高學(xué)生的學(xué)習興趣，進而達到培養(yǎng)“實用性”人才的需要。

本節(jié)內(nèi)容沿以下的脈絡(luò)學(xué)習，學(xué)習過程中要注意對有關(guān)概念的領(lǐng)會和公式的記憶以及思想方法的把握。

新課引入→橢圓的定義→橢圓的標準方程→焦點在x軸上或焦點在y軸上的橢圓特征。

五、教學(xué)過程

本課的教學(xué)環(huán)節(jié)主要分以下幾個部分：

（一）引入新課

1.認識橢圓（4分鐘）

首先我拿出一根胡蘿卜和一把小刀，說要給學(xué)生做油燜胡蘿卜，開始豎著切幾片，發(fā)現(xiàn)切出來的蘿卜是圓的，問學(xué)生還可以怎么切，學(xué)生說斜著切，斜著切起來的蘿卜是橢圓的。這時我向同學(xué)展示豎著切出來是圓，斜著切出來就成橢圓狀了。這樣能激起學(xué)生的學(xué)習興趣，使本來嚴肅的學(xué)科變得生動起來。

2.請學(xué)生舉出所看到的有關(guān)橢圓的實例

目的：使學(xué)生對橢圓的認識能得到進一步加深，同時在學(xué)生的舉例中也能澄清橢圓與橢球這兩個不同的幾何圖形（如：有同學(xué)認為雞蛋是橢圓形的，實質(zhì)上它為橢球形的）。

3.提出問題

正當他們沉浸在觀察雞蛋、鴨蛋中的時候，我提出問題：怎樣畫出橢圓呢？橢圓在直角坐標系下是否可以像圓一樣用方程來表示呢？學(xué)生開始沉思，我拿出準備好的橢圓畫法教具開始新課教學(xué)。

（二）畫橢圓求定義（畫橢圓）（6分鐘）

拿出兩塊小黑板，其中一塊的兩個釘子是縱向的，叫兩個同學(xué)上來，一左一右，老師站中間。在老師的指導(dǎo)下一起畫橢圓。畫時一定要跟同學(xué)反復(fù)要求拉緊繩子用光滑的曲線連接。畫后點評，指出那個豎起來的形狀是不是也是橢圓。這樣做既能培養(yǎng)學(xué)生的動手實踐、直接觀察能力，也能為后來焦點在y軸上的橢圓講解埋下伏筆，還能使學(xué)生對橢圓的定義有了一種感性認識。接下來讓學(xué)生用自己的語言來描述橢圓定義，教師用圓的定義適當啟發(fā)，由學(xué)生討論歸納。最后教師規(guī)范他們的語言，共同得出橢圓定義，并引入焦點和焦距、定長的概念，然后板書橢圓定義。這在我們的學(xué)法指導(dǎo)中也提到過。

為加深對概念的理解，教師可以提問：

設(shè)問：為什么|MF |+|MF |＞|F F |？反之，若|MF |+|MF |=|F F |、|MF |+|MF |＜|F F |會怎樣？

目的：通過上述的實驗操作后，先請學(xué)生大膽探究、想象，再由教師動畫演示，學(xué)生發(fā)現(xiàn)|MF |+|MF |=|F F |為線段，|MF |+|MF |

＜|F F |的曲線不存在，從而加深對橢圓定義條件的理解。

（三）橢圓標準方程的推導(dǎo)（10分鐘）

為了搞清楚神奇的橢圓，我們用最科學(xué)的方法來研究它的方程，這樣就很自然地過渡到橢圓標準方程的推導(dǎo)上。

設(shè)問1：曲線方程的一般方法是哪些？此處可簡單回顧圓標準方程的引入過程。

（建系、設(shè)點、列式、化簡）

設(shè)問2：本題中可以怎樣建立直角坐標系？（讓學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗來確定，從而讓學(xué)生對觀察橢圓對稱性開始了解）

建系：以F 、F 所在直線為x軸，F(xiàn) F 的中點為原點建立直角坐標系。

設(shè)點：設(shè)M（x，y）為橢圓上任意一點，F(xiàn) 、F 距離為2c（c＞0），

則F （-c，0），F(xiàn) （c，0）；

又設(shè)|MF |+|MF |=2a（a＞0）

列式：由橢圓定義，橢圓就是集合P={M||MF |+|MF |=2a}

化簡： + =2a該式

說明：考慮技校特點和教學(xué)要求，此推導(dǎo)過程留給學(xué)生課后自行探討。而教師可提示：先移項，再兩邊平方，再移項，再平方。

教師引入：先說明焦點概念，然后得

出焦點在軸上的橢圓標準方程為+ =1（a＞b＞0）

焦點為F （-c，0），F(xiàn) （c，0），焦距為2c。重點說明a =b +c 關(guān)系式是簡化方程措施。

（四）判斷橢圓焦點位置（5分鐘）

得出焦點在x軸和焦點在y軸上的橢圓標準方程后，讓學(xué)生先觀察兩分鐘。然后教師要求學(xué)生回答這兩個方程有沒有區(qū)別，如有區(qū)別，區(qū)別在哪里。（這個過程能給學(xué)生接受新知識一個緩沖的機會，有些學(xué)生會利用這段時間理理思路）

通過學(xué)生思考，教師語言引導(dǎo)，確定如何判斷橢圓的焦點在哪條軸上。

（五）例題講解（15分鐘）

例1：設(shè)橢圓的焦點為F （-3，0），F(xiàn) （3，0），2a=10，求橢圓標準方程。

目的：（1）進一步熟悉橢圓的焦點位置與標準方程之間的關(guān)系；（2）掌握運用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程，解題時強調(diào)“二定”即定位（焦點位置）、定量（a，b值）；（3）培養(yǎng)學(xué)生運用知識解決問題的能力。

例2：設(shè)橢圓的焦點為F （0，-3），F(xiàn) （0，3），2a=10，求橢圓標準方程。

目的：通過本題的例題，使學(xué)生能加深對橢圓的焦點位置與標準方程之間關(guān)系的理解，教學(xué)時采用在教師引導(dǎo)下學(xué)生自主探究的方法。

本題由學(xué)生上臺板演過程，教師講解。

目的：熟悉、鞏固知識，運用知識

（六）課后小結(jié)（5分鐘）

（整理知識，形成網(wǎng)絡(luò)）

1.一個定義（橢圓定義）。要點：PF +PF =2a＞F F =2c，a＞c

2.兩個方程（從幾何到代數(shù)轉(zhuǎn)變）：

關(guān)鍵：先確定焦點落在何坐標軸上，以分母大者為準。

焦點（±c，0）或（0，±c）定長2a?圯求出a，b?圯橢圓方程 + =1或 + =1（關(guān)系式a =b +c ）

3.布置作業(yè)：

（1）設(shè)橢圓的焦點為F1（-5，0），F(xiàn)2（5，0），2a=26，求橢圓標準方程。

（2）設(shè)橢圓的焦點為F1（0，-4），F(xiàn)2（0，4），2a=10，求橢圓標準方程。

（七）板書設(shè)計

參考文獻：

［1］人民教育出版社.選修2-1，2007.2，第2版.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>