基于線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析及ＭＡＴＬＡＢ仿真與應(yīng)用

摘 要： 本文對線性系統(tǒng)從時域、復(fù)域和頻域進(jìn)行了穩(wěn)定性分析，總結(jié)了控制系統(tǒng)的主要判據(jù)，并借助MATLAB及控制工具箱對線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行了分析，分析過程簡單，結(jié)合實例驗證了其真實性、有效性，同時應(yīng)用MATLAB設(shè)計控制器，對控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)進(jìn)行了改善。

關(guān)鍵詞： 線性系統(tǒng) 穩(wěn)定性 MATLAB 控制系統(tǒng)校正

引言

穩(wěn)定性是系統(tǒng)能在實際中應(yīng)用的首要條件。因此，如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并找出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，便成為自動控制理論的一個基本任務(wù)［１］。線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，而與輸入無關(guān)。線性系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是其特征根均具有負(fù)實部，在實際工程系統(tǒng)中，為避開對特征方程的直接求解，就只好討論特征根的分布，即看其是否全部具有負(fù)實部，并以此來判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由此形成了一系列穩(wěn)定性判據(jù)，而且這些方法都已經(jīng)過了數(shù)學(xué)上的證明，是完全有理論根據(jù)的，是實用性非常好的方法［５］－［８］。在MATLAB未產(chǎn)生前，由于自動控制系統(tǒng)的復(fù)雜性，判別穩(wěn)定性計算量非常大，而采用了MATLAB以后，穩(wěn)定性分析將變得很簡單。采用MATLAB還可以對復(fù)雜的控制系統(tǒng)進(jìn)一步進(jìn)行分析和設(shè)計。

1.控制系統(tǒng)穩(wěn)定性定義

關(guān)于穩(wěn)定性的定義有許多種，較典型的說法有兩種：一種是由俄國學(xué)者李雅普諾夫首先提出的平衡狀態(tài)穩(wěn)定性，另一種指系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性。對于線線控制系統(tǒng)而言，這兩種說法是等價的。根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，線性控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以定義如下：若線性控制系統(tǒng)在初始擾動的影響下，其過渡過程隨著時間的推移逐漸衰減并趨向于零，則稱該系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定，簡稱為穩(wěn)定；反之，若在初始擾動影響下，系統(tǒng)的過渡過程隨時間的推移而發(fā)散，則稱系統(tǒng)為不穩(wěn)定。由上述穩(wěn)定性定義可以推知，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根都具有負(fù)實部，或者說閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點均位于左半S開平面（不包括虛軸）［１］。

2.系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法概述［２］

在經(jīng)典控制理論中，常用時域分析法、復(fù)域分析法或頻率分析法來分析控制系統(tǒng)的性能。不同的方法有不同的適用范圍，下面對上述方法進(jìn)行具體研究。

2.1時域分析法

在經(jīng)典控制理論中，時域分析法是一種直接在時間域中對系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析的方法，具有直觀、準(zhǔn)確的優(yōu)點，并且可以提供系統(tǒng)時間響應(yīng)的全部信息。在時域分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，必須研究在輸入信號作用下，當(dāng)時間t趨于無窮時，系統(tǒng)的輸出響應(yīng)趨于最終期值h（∞）。顯然，一個穩(wěn)定的系統(tǒng)，其時域響應(yīng)曲線必須是衰減的。

2.2復(fù)域分析法

在復(fù)域中進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，尤其當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)K的變化時，選定合適的參數(shù)范圍使系統(tǒng)達(dá)到所需要穩(wěn)定要求。有兩種方法：一是直接法，即對于較易得到系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的場合，直接求出系統(tǒng)所有閉環(huán)極點，判斷是否都具有負(fù)實部來確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性；二是根軌跡法，利用系統(tǒng)開閉環(huán)傳遞繪制根軌跡，由線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件：閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點均位于左半S開平面（不包括虛軸），確定使根軌跡在左半S開平面部分時參數(shù)范圍為系統(tǒng)穩(wěn)定的區(qū)域。

2.2.1直接法

若n≤2，可直接求取其特征方程根（即閉環(huán)極點）來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性，即使（1）有待定參數(shù)，也容易求出特征方程根的一般形式，但對于求取n>3的高階系統(tǒng)特征方程式的根很麻煩，所以對高階系統(tǒng)一般都采用間接法來判斷穩(wěn)定性，在時域中常采用間接方法是代數(shù)判據(jù)（也稱勞斯判據(jù)）。

2.2.2根軌跡法

根軌跡法是一種圖解方法，這種方法是根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)零、極點的分布來研究系統(tǒng)中可變參數(shù)變化時，系統(tǒng)閉環(huán)特征根的變化規(guī)律，從而研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，根軌跡法在控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計中是一種很實用的工程方法。它的最大特點是能夠很清晰地了解到閉環(huán)特征根的分布，一目了然地得出系統(tǒng)穩(wěn)定時參數(shù)的取值范圍，并且不必求出系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，適用于較復(fù)雜系統(tǒng)。根軌跡法的關(guān)鍵環(huán)節(jié)就是能夠正確地繪制出系統(tǒng)的根軌跡，簡單根軌跡可用試探法繪制，復(fù)雜根軌跡則應(yīng)利用其繪制基本規(guī)則進(jìn)行繪制。

2.2.3頻域分析法

頻域分析法是應(yīng)用頻率特性研究系統(tǒng)的一種經(jīng)典方法，以系統(tǒng)的頻率特性為數(shù)學(xué)模型，用bode圖或其他圖表作為分析工具。當(dāng)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式不易求出，就無法應(yīng)用代數(shù)判據(jù)或根軌跡法判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，此時應(yīng)用頻率穩(wěn)定判據(jù)就非常方便。其前提條件就是要正確地把系統(tǒng)的頻率特性繪制成曲線，常用的頻率特性曲線大致有三種：幅相曲線（極坐標(biāo)圖）；bode圖，也稱為對數(shù)頻率特性曲線；對數(shù)幅相曲線（尼科爾斯圖）。曲線的繪制可根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性的表達(dá)式通過取值描點法、疊加法繪制根軌跡草圖，或利用MATLAB等計算機輔助工具來實現(xiàn)［４］，［７］。

3.MATLAB實現(xiàn)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析［６］，［８］

3.1時域分析法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性

程序如下：

num=［50］；den=［13-10］；

［num1，den1］=cloop（num，den）；

impulse（num1，den1）title（‘impulse response’）

程序中num為開環(huán)傳遞函數(shù)分子系數(shù)矩陣，den為分母系數(shù)矩陣。

系統(tǒng)的穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)在遭受外界擾動偏離原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動消失后，系統(tǒng)自身仍有能力恢復(fù)到原來平衡狀態(tài)的一種能力［３］。從圖1可以很直觀地看出該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

3.2直接判定法

根據(jù)穩(wěn)定的充分必要條件判別線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性，最簡單的方法是求出系統(tǒng)所有極點，并觀察是否含有實部大于0的極點，如果有，系統(tǒng)則不穩(wěn)定。然而實際的控制系統(tǒng)大部分都是高階系統(tǒng)，這樣就面臨求解高次方程，求根工作量很大，但在MATLAB中只需分別調(diào)用roots（den）或eig（A）即可，這樣就可以由得出的極點位置直接判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

創(chuàng)建M文檔，命名為00.m，在M文檔中輸入如下程序：

G=tf（［1，7，24，24］，［1，10，35，50，24］）；

roots（G.den{1}）

運行結(jié)果：ans=

-4.0000

-3.0000

-2.0000

-1.0000

由此可以判定該系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。

3.3軌跡法判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性

MATLAB控制工具箱中提供了rlocus函數(shù)，來繪制系統(tǒng)的根軌跡，利用rlocfind函數(shù)，在圖形窗口顯示十字光標(biāo)，可以求得特殊點對應(yīng)的K值，進(jìn)而分析系統(tǒng)穩(wěn)定性情況。

已知一控制系統(tǒng)，H（s）=1，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：

selected_point=0+1.4373i

k=6.1979

p=-3.0178

0.0089+1.4331i

0.0089-1.4331i

光標(biāo)選定分離點，程序結(jié)果為：

selected_point=-0.4194-0.0076i

k=0.3850

p=-2.1547

-0.4226+0.0069i

-0.4226-0.0069i

上述數(shù)據(jù)顯示了增益及對應(yīng)的閉環(huán)極點位置。由此可得出如下結(jié)論：

（1）0

（2）k=0.4時，對應(yīng)為分離點，系統(tǒng)處于臨界阻尼狀態(tài)；

（3）0.4

（4）k=6時，系統(tǒng)有一對虛根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；

（5）k>6時，系統(tǒng)的一對復(fù)根的實部為正，系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)。

3.4Nyquist曲線判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性

已知一控制系統(tǒng)，H（s）=1，其開環(huán)傳遞函數(shù)為：

創(chuàng)建M文檔，命名為01.m，在M文檔中輸入如下程序：

den1=［1，3，2，0］；%求系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)

Gs1=tf（num1，den1）；

Gs2=tf（num2，den1）；

%求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)

Hs=1；

Gsys1=feedback（Gs1，Hs）；

Gsys2=feedback（Gs2，Hs）；

t=［0：0.1：25］；

Figure（1）；

%繪制閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線

Subplot（2，2，1）；step（Gsys1，t）；

Subplot（2，2，3）；step（Gsys2，t）；

%繪制開環(huán)系統(tǒng)的nyquist圖

Subplot（2，2，2）；nyquist（Gs1）；grid on；

Subplot（2，2，4）；nyquist（Gs2）；grid on；

奈氏穩(wěn)定判據(jù)的內(nèi)容是：若開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面右半平面上有P個極點，則當(dāng)系統(tǒng)角頻率X由-∞變到+∞時，如果開環(huán)頻率特性的軌跡在復(fù)平面上逆時針圍繞（-1，j0）點轉(zhuǎn)P圈，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則是不穩(wěn)定的。

當(dāng)k=3時，從圖3（a）中可以看出，Nyquist曲線不包圍（-1，j0）點，同時開環(huán)系統(tǒng)所有極點都位于s平面左半平面，因此，根據(jù)奈氏判據(jù)判定以此構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，這一點也可以從圖2（a）中系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)得到證實，從圖3（a）中可以看出系統(tǒng)大約23s后就漸漸趨于穩(wěn)定。當(dāng)k=9時，從圖3（b）中可以看出，Nyquist曲線按逆時針包圍（-1，j0）點2圈，但此時P=0，所以根據(jù)奈氏判據(jù)判定以此構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，圖3（b）的系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線也證實了這一點，系統(tǒng)一直振蕩不定。

4.應(yīng)用MATLAB設(shè)計全狀態(tài)反饋控制器實現(xiàn)系統(tǒng)的校正［３］，［７］，［９］

因為由初始條件和參考輸入引起的系統(tǒng)過渡過程的特性直接取決于極點，所以極點配置設(shè)計的目的是使用反饋使得系統(tǒng)的過渡過程能夠在一個可以接受的時間周期內(nèi)衰減消失。狀態(tài)反饋是將系統(tǒng)的每一個狀態(tài)變量乘以相同的控制增益矩陣F，然后反饋到輸入端與參考輸入相加形成控制律，作為受控系統(tǒng)的輸入。如果一個系統(tǒng)是能控的，且其所有變量均可用于反饋，則可應(yīng)用全狀態(tài)反饋控制式u（t）=-Fx（t）將閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置在s平面的任意位置。

例：求控制增益矩陣F，使例1給出的系統(tǒng)在受u（t）=-Fx（t）控制時，原系統(tǒng)一對不穩(wěn)定極點1.0000+3.0000i，10000-3.0000i，被重新配置在-1.0000和-1.5000位置，其余極點不變。繪出加入全狀態(tài)反饋控制器后系統(tǒng)的零點極點圖（圖4），判定系統(tǒng)穩(wěn)定性。通過仿真脈沖響應(yīng)來驗證穩(wěn)定性，并和原系統(tǒng)響應(yīng)作比較。

解：（1）判斷原系統(tǒng)是否能控。根據(jù)矩陣A和B，利用MATLAB可以判斷例1給出的系統(tǒng)是能控的。

（2）求控制增益矩陣F。得F=［18.00004.6250-0.4690-1.0625］。

（3）用MATLAB繪制出校正后系統(tǒng)的零點、極點圖、校正前后系統(tǒng)脈沖響應(yīng)對比圖（圖5）。

由于將原系統(tǒng)不穩(wěn)定的極點進(jìn)行了重新配置，原系統(tǒng)得到了校正，由不穩(wěn)定系統(tǒng)變成了穩(wěn)定系統(tǒng)。

5.結(jié)論

控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性對于建造系統(tǒng)或設(shè)計系統(tǒng)有著重要意義，也是對系統(tǒng)進(jìn)行綜合的主要依據(jù)，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，便成為研究自動控制理論不可缺少的內(nèi)容。本文總結(jié)了系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的方法。通過MATLAB的工具箱可以很容易地繪制處系統(tǒng)的根軌跡、時域響應(yīng)、頻域響應(yīng)，使得分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性變得快捷方便。最后應(yīng)用MATLAB設(shè)計控制器，實現(xiàn)了對系統(tǒng)性能的改善。

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