例談如何培養學生的數學思想方法

數學給予人抽象概括的能力，不僅可以使人有條理地在簡約狀態下進行思考，而且抽象概括本身就有發現真理的功能，這種功能實質上是數學思想方法作為一種思維工具在發揮作用，這是數學給人思維素養的最重要的成分。數學思想方法是人們對數學知識內容本質的認識，是人們學習和應用數學知識過程中思維活動的向導。而數學思想方法的形成又有賴于合理有效的數學學習過程。數學教育家弗賴登塔爾說過：“與其說讓學生學習公理體系，不如說讓學生學習公理化；與其說讓學生學習形式體系，不如說讓學生學習形式化。一句話，與其說讓學生學習數學，不如說讓學生學習數學化。”這里的所謂數學化，是指通過學習數學知識、技能和方法，逐漸形成自己的數學思想和方法，學會用數學的眼光看待事物，學會用數學的方法解決問題。這就要求教師具有正確的數學教學觀。

《數學課程標準》指出：數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上，向學生提供充分從事數學活動的機會。這里一是指在教學中應注意在從具體到抽象的學習過程中，讓學生對數學知識的來龍去脈有著清晰的認識，而非橫空出世；二是指在教師的合理引導下發揮學生主觀能動性，體驗數學的再創造過程，從而自我建構數學知識，形成數學思想方法的活動。前者重在教師的主導作用，學生在教師的引導下參與教學活動，體驗、發現、歸納，即在已有的生活經驗基礎上逐漸由具體到抽象；后者主要指學生在數學學習過程中通過反思逐步積累數學的知識與方法，并能用數學的方法認識和解決實際問題。因此，前者是后者的基礎，后者是前者的提升。

由此，數學教學就必須避免以掌握一些解題訣竅為教學目標，從而導致死記硬背、生吞活剝地記住一些概念、定理為目標。教師的任務不是把現成的知識灌輸給學生，而是既要結合學生熟悉的事物善于深入淺出地引發數學問題、講解數學問題，把數學與生活緊密地結合起來，又要營造一個激勵探索和理解的氣氛，讓學生在觀察體驗、動手實踐的基礎上學會把眼前的問題與自己已有的知識體驗之間發生關聯，從中有效地學習方程思想、數形結合思想、分類思想，學習建模思想、轉化思想、整體思想和概率統計思想等方法。

一、讓學生在數學化的活動中感悟數學思想方法

案例1：從找位子游戲中學習模型化

為什么要建立直角坐標系？直角坐標系中的點為什么需要用兩個數據？這兩個數據為什么有順序？如何表達這種順序？這“一對數”如何與“兩個數”區別開來？義務教育課程標準實驗教科書《數學》（人教版）七年級（下）第六章第一課時《有序數對》的學習，就是要引導學生解決這樣的問題。當然，教材提供了很好的線索，如電影院里座位的號碼。但此情境讓農村教師為難了。孩子沒有上過電影院，對幾排幾號沒有經驗。善于想辦法的小孫老師便設計了下面的找朋友游戲。

游戲規則：（1）第一排的學生參加游戲；（2）把第二排規定為第一排，往后依次類推。教室各排從左到右依次為1號，2號……（3）教師手中準備這樣幾種座位票：有排無號，有號無排，有排有號，排號互換，無排無號等；（4）參加游戲的學生從教師手中抽取座位票，然后尋找座位票上的位置。找到對應位置的同學就是自己的朋友。找不到位置的學生，請他們談談找不到的原因。如果要找到位置，還需補上什么條件？

與自己有緣的是哪一位呢？學生的好奇心一下子被激發了，孩子們進入教師設計的情境之中。找到朋友的孩子興高采烈，拿著票而無法找朋友的孩子有的一籌莫展，有的則向教師提出了抗議。于是，在真實情境中，孩子們通過能否找到、找到誰的親身體驗，初步認識到要在平面上確定物體的位置一般需要兩個數據，僅一個數據，不能確定朋友；此時又與順序有關，不同的順序找到的是不同的朋友。在這樣一個智力活動處于激活的狀態下，“順序”、“數對”、把數對中兩數分開的“逗號”及形成一對數的“括號”等符號和概念擁有了具體的意義，學生在頭腦中形成了表象。于是，在這樣一個解決問題的實踐活動中，孩子們體驗了從具體場景到問題的抽象概括，進而轉化為思維的形式化和表達的符號化問題的過程，有序數對模型的最終建立使數學化思維過程真切自然，數學建模的真切性變得觸手可摸。

概念是人們對客觀事實的反映，不是憑空捏造的。因此，只有真正經歷過從具體到抽象的思維過程，知識才能成為融合在學生認知結構中的有機部分，學生才會在解決具體問題的過程中靈活運用。這種把現實生活與數學學習溝通起來，把具體問題與抽象概念聯系起來的教學方法，不僅有利于數學思想方法的培養，而且避免了人為編造或過于抽象的數學問題，以至于學生形成“數學是高高在上的”潛在恐懼感，對學生在情感、態度、價值觀方面具有良好的教育意義。

案例2：哪家旅行社合算

學習一元二次方程時，教師給出這樣一個問題：

某校科技小組的學生在3名教師帶領下，準備前往國家森林公園考察，采集標本。當地有甲、乙兩家旅行社，其定價都一樣并表示對師生都有優惠：甲旅行社表示帶隊教師免費，學生按8折收費；乙旅行社表示師生一律按7折收費。經核算，甲、乙兩旅行社的實際收費正好相同。該科技小組共有多少學生?

教師請一位已完成計算的學生把解法在黑板上演示一下。

解：設科技小組共有x名學生，兩家旅行社定價1，則

80%x=70%（x+3）

解得x=21。

答：該科技小組共有21名學生。

“正確。”但是，教師話鋒一轉，拋出了第二個問題：如果上題中的科技小組增加學生人數，那么去哪家旅行社較合算？

經過思考，學生們七嘴八舌地說上了，氣氛逐漸熱烈。

“我們認為去乙旅行社較合算。我們試了，當增加1人時：

甲旅行社80%（21+1）=17.6

乙旅行社70%（21+3+1）=17.5

17.6＞17.5

所以，選乙旅行社合算。”

“我們也選乙旅行社，但我們認為增加1人不放心，我們一共試了20人，得到這個結論。”

師：以上兩個小組說得很好，通過試一些特殊情況猜想到去乙旅行社更合算，這是一種很好的思維方式，特別在小范圍很有效。但人數增加為200人，情況還是這樣嗎？學生們還有其他看法嗎？

照理，就特殊情況而得的猜想，應該有嚴密的證明、說理過程。若用傳統的“請學生們證明”可能就會出現無從說起的局面。而“增加更多的人”的提問方式，顯得有實際意義，“入口”小，學生容易接受，因而也就有了一定的挑戰性。

沉默了一會兒，小王打破了僵局。

“我也選乙旅行社。但我一個也不需要試。我認為增加的全是學生。而學生在甲旅行社打8折，乙旅行社打7折，因此選乙旅行社一定沒錯。”

一片嘩然。對呀！就是！我怎么沒想到？……

師：同學們，你們認為小王同學的發言有說服力嗎？

“有說服力。比前面兩個同學的發言更全面，更有說服力。”

師：如果其他條件不變，選甲旅行社比選乙旅行社合算，那么學生人數有什么變化？

教師提出了第三個問題。

生：學生人數小于21人時，選甲旅行社合算。

師：為什么?

生：因為前面算出當學生人數為21人時費用相等，學生越多，去乙旅行社越合算。那么，反之，學生越少，去甲旅行社越合算，否則不是矛盾了嗎？

學生的生活經驗和直覺不自覺地發揮了作用。

師：能從反面思考解決問題，很好。那么，再提第四個問題：教師人數變為2人，打折情況不變，又如何呢？

條件的不斷變化，促使學生不斷變換思考角度。

生1：我通過方程先算出兩家旅行社實際收費一樣的情況，再討論其余情況。學生人數應是14人。

生2：我利用了第一個問題的結論。既然教師3人、學生21人時收費一樣，那么教師為2人時，可按比例算，即：教師人數/學生人數=3/21=1/7，那么，教師2人時，應該有：2/學生人數=1/7，所以，學生人數14人時兩家收費一樣。

這后一種解法的思想方法教師事先根本就沒想到，突如其來，令教師感到壓力，但直覺告訴教師，孩子的想法是正確的。

（沉默了一會兒）

師：這位學生的發言很好！獨立思考，很新穎！是否正確，老師需要同學們的幫助，共同探討。

當學生終于通過方程80%x=70%（x+3）研究得出，方程本身可以寫成（x+3）/x=80%/70%，即收費相等時師生總人數與學生人數之比為8∶7，那么就是教師與學生人數之比為1∶7時，兩旅行社的收費相等。由此，還得出只要去兩旅行社費用一樣，那么，無論教師如何變化，我們都有相應的辦法求出學生人數的結論。

此時的學生除了對生2的直覺大為欽佩外，又有了知識上的收獲。

在接下來的課中，教師聯系學生的解法，對本堂課提出的問題和每個問題的解決方法作了小結。

……

與其給人死板的知識，不如給人以生動、活潑的思想方法，如此才能點石成金。教師把一道封閉的應用題改編成一道開放性生活問題，模擬實際情況，精心設計四個問題，激發了學生的好勝心。在設計解決問題的方案過程中，學生儼然是個當家人，感到肩負重擔，解決問題的愿望迫切，使創造性思維火花得到進發。

值得贊揚的還有教師對紛繁的問題和解法所作的及時小結。學生在解決問題過程產生出來的方法有時是不自覺的，教師的及時肯定和歸納性總結非常有利于在學生頭腦中形成明確的、穩固的思想方法，有利于學生自覺運用這些思想方法。

教學實驗研究表明，當學生進行整體思維時，他得到整個經驗和情感的支持，從而較能調動他的思維積極性。采取分列式思維的學生，總是把重點放在一系列子問題上，他們也把子問題聯系在一起考慮，但這時十分重視其邏輯順序。他們在對一個問題行將結束時才對所學內容有較為完整的看法。這兩種學生到最后都達到了同樣的理解水平。因此，教學中不同學生的不同思維風格都應予以尊重，也應在表示肯定的同時，提倡互相學習。

從本案例的教學氛圍來講，可以看到課堂上師生關系平等融洽，給學生心理上以安全感。而在學生思維活躍的情況下，教師也就時刻都有可能接受學生的挑戰。就這堂課而言，教師也遇到了挑戰，突如其來的用比例方式完成的回答，令教師一時思維“短路”。按當時的情境，若為維護教師所謂的權威，固執地駁斥學生的發言，告訴他們用方程來解就行了，將會扼殺多少學生的積極性。可見，學生學習數學化的過程、學習數學思想方法的過程，也是教師教學的藝術化的過程。

二、從現象到本質——數學思想方法的提煉是重要的數學化過程

案例3：媽媽的留言條

在上《用字母表示數》一課時，劉老師先讓學生一起看短文：

周末，媽媽早晨上班時，囑咐讀七年級的小明打掃一下家里的衛生，小明按媽媽的要求做完事后，坐在窗邊想著他想買的玩具，可又愁沒錢。他計上心來，在媽媽回家前在桌上留了一張紙條，然后躲在房里看媽媽的動靜。

媽媽看見小明的紙條上是這樣寫的：“拖地：3元；疊被：1元；抹窗戶：5元；丟垃圾袋：1元，共計10元。”媽媽看后，一言不發。提筆在紙條后加上幾行字：“吃飯：x元；穿衣：y元；帶去看病：z元；關心：a元……共計b元。”寫完就到廚房做飯去了，小明溜出來一看，心生慚愧，趕緊收起了紙條。

師：媽媽寫的x，y，z，a，b表示什么？小明為什么心生慚愧？如果你是小明，你會怎么做？

生1：x，y，z，a，b表示錢數。小明想到媽媽為自己所做的一切而心生慚愧。如果我是小明，我會幫媽媽做家務。

生2：如果媽媽這樣寫，我會還給媽媽b元錢。

生3：媽媽的付出不是能用數字計算的，媽媽這樣寫的時候，并沒有想向小明要錢的意思，我認為x，y，z，a，b表示0。

生4：x，y，z，a，b表示很大很大的數，因為媽媽給予我的太多太多。

生5：如果我是小明，我從現在起就刻苦學習，長大了用2x，2y，2z，2a，2b……的代價報答媽媽。

生6：我認為x，y，z，a，b……我長大了要以nx，ny，nz，na，nb（n是一個很大的數）多的愛回報媽媽以及所有愛我和關心我的人（他把字母表示數巧妙地用在了他的語言中，讓其他學生羨慕不已）。

師：大家歸納一下，短文中的字母表示什么？

教師與學生一起歸納，并指明，用字母表示數是一種重要的數學方法。

“用字母表示數”是學生從算術學習到代數學習的重要跨越。該教學設計由生活情境入手，實例自然，有利于調動學生數學學習的內在動機，符合學生對數學的認識從具體到抽象的規律性，因而有利于發展數學化的思維。但是，在以實際問題作為背景去組織教學的同時，應防止另外一種傾向，即只滿足于聯系實際，而忽視了應有的思想方法的提升。我們應認識到，思想方法的提升實際上也是一個學習“數學化”的過程，而后者顯然有著更為普遍和重要的意義。

比如，后面的教學中在初步建立起“符號可以被用來表示數”這樣一種認識后，我們就可引導學生思考這樣的問題：符號a可以代表哪些數？進而，－a是否一定代表負數？是否一定比a小？等等。類似的，在學會了用式表示運算律以后，我們又可提出如下的問題：“x+y=y+x”與“2+5=5+2”相比哪個具有更大的表現力？等等。因此，我們不能滿足于教會學生正確地進行表示，還應當引導學生對數和字母進行比較，從而準確地把握兩者的異同。而如果缺少必要的理論分析，就很難幫助學生較好地去實現數學思想方法的飛躍。

案例4：是你教給我的方法

這是一次數學競賽時的故事。

學生小鄭走出考場后．就興奮地對胡老師說：“老師，這次一道有關絕對值的題目，你給我們做過，記得那時我做不出來，后來你教給我了方法，印象特別深。”當時胡老師也很興奮，連忙找來試卷，然后打開近一年前的興趣小組輔導備課筆記進行比較。

競賽的題目是：設x是實數，y=|x-1|+|x+1|，下列四個結論：A．y沒有最小值；B．只有一個x使y取到最小值；C．有有限個（不止一個）x使y取到最小值；D．有無窮多個x使y取到最小值。其正確的是（ ）。

而胡老師曾給學生做過的題目是解方程：|x-1|+|x+1|=3。兩道題目雖有類似之處，都含有兩個絕對值，但形式不一，一個是函數形式，一個是方程形式，而且時間相隔很長。為什么小鄭做到這道題時，馬上會聯想起以前老師給他做過的那一道題目呢？一是由于小鄭開始不會做，因此留下的印象特別深。更重要的是，當初胡老師給學生講評時，并不是就事論事，而是就事論理，引導學生理解絕對值的幾何意義，突出了數形結合的解題功能，使學生明白，所求的即是數軸上代表的那一點到代表－1和1的距離的和為3。同時，胡老師還對這道題目進行變式，如果方程|x-1|+|x+1|=2，方程的解會發生什么變化，讓學生進一步領悟數形結合的解題本質。

胡老師深有體會地說，時隔那么多年，雖然教學中的很多事情會淡忘，但這件事情對他本人卻是深有教益。題目中含有兩個絕對值，而去掉絕對值的一般方法要到高中才學習，故此題對初中生來說，很難直接去掉兩個絕對值的符號。學生能解答此題，完全得益于數學思想方法的升華。

這里的教學思想方法就是數形結合的思想方法。數形結合是將抽象的數量關系與直觀的圖形結合起來研究數學問題，使抽象思維和形象思維相互作用，實現數量關系與圖形性質的相互轉化。正因為把|x-1|+|x+1|=3這樣一個抽象難懂的式子，在數軸上表示－1和1的點的距離之和之后，使代數問題的信息轉換到了直觀圖形的問題上，解決起來當然容易多了。而巧妙的方法也給學生留下了深刻的印象。這正所謂“心中有數但不能得意忘形”。

數學思想方法蘊涵于數學基礎知識之中，相對來說，它是隱性的、抽象的。為了更好地實現數學思想方法的教學，培養學生的數學化思想，教師要具備較高的數學思想方法素養，認真學習，掌握數學思想方法在整個數學發展中的地位，努力把初等數學和現代數學的基本思想方法有機地結合起來。