數學的直覺思維與培養

簡單地說，數學直覺是具有意識的人腦對數學對象（結構及其關系）的某種直接的領悟和洞察。

一、何為“直覺”

直觀與直感都是以真實的事物為對象，通過各種感覺器官直接獲得的感覺或感知。例如等腰三角形的兩個底角相等，兩個角相等的三角形是等腰三角形等概念、性質的界定并沒有一個嚴格的證明，只是一種直觀形象的感知。而直覺的研究對象則是抽象的數學結構及其關系。龐加萊說：“直覺不必建立在感覺明白之上．感覺不久便會變的無能為力。例如，我們仍無法想象千角形，但我們能夠通過直覺一般地思考多角形，多角形把千角形作為一個特例包括進來。”由此可見直覺是一種深層次的心理活動，沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作思考的背景。正如迪瓦多內所說：“這些富有創造性的科學家與眾不同的地方，在于他們對研究的對象有一個活全生的構想和深刻的了解，這些構想和了解結合起來，就是所謂‘直覺’……因為它適用的對象，一般說來，在我們的感官世界中是看不見的。”

二、直覺思維的主要特點

直覺思維具有自由性、靈活性、自發性、偶然性、不可靠性等特點，從培養直覺思維的必要性來看，筆者以為直

覺思維有以下三個主要特點：

（1）簡約性。直覺思維是對思維對象從整體上考察，調動自己的全部知識經驗，通過豐富的想象作出的敏銳而迅速的假設、猜想或判斷，它省去了一步一步分析推理的中間環節，而采取了“跳躍式”的形式。它是一瞬間的思維火花，是長期積累上的一種升華，是思維者的靈感和頓悟，是思維過程的高度簡化，但是它卻清晰地觸及事物的“本質”。

（2）創造性。現代社會需要創造性的人才，我國的教材由于長期以來借鑒前蘇聯的經驗，過多地注重培養邏輯思維，培養的人才大多數習慣于按部就班、墨守成規，缺乏創造能力和開拓精神。直覺思維是基于研究對象整體上的把握，不專意于細節的推敲，是思維的大手筆。正是由于思維的無意識性，它的想象才是豐富的、發散的，使人的認知結構向外無限擴展，因而具有反常規律的獨創性。

（3）自信力。學生對數學產生興趣的原因有兩種，一種是教師的人格魅力，其二是來自數學本身的魅力。不可否認情感的重要作用，但筆者的觀點是，興趣更多來自數學本身。成功可以培養一個人的自信，直覺發現伴隨著很強的“自信心”。相比其它的物質獎勵和情感激勵，這種自信更穩定、更持久。當一個問題不用通過邏輯證明的形式而是通過自己的直覺獲得，那么成功帶給他的震撼是巨大的，內心將會產生一種強大的學習鉆研動力，從而更加相信自己的能力。

三、直覺思維的培養

一個人的數學思維、判斷能力的高低主要取決于直覺思維能力的高低。徐利治教授指出：“數學直覺是可以后天培養的，實際上每個人的數學直覺也是不斷提高的。”數學直覺是可以通過訓練提高的。

（1）扎實的基礎是產生直覺的源泉。直覺不是靠“機遇”，直覺的獲得雖然具有偶然性，但決不是無緣無故的憑空臆想，而是以扎實的知識為基礎。若沒有深厚的功底，是不會進發出思維的火花的。一旦你真正感到弄懂一樣東西，而且你通過大量例子以及通過與其它東兩的聯系取得了處理那個問題的足夠多的經驗，此時你就會產生一種關于正在發展的過程是怎么回事以及什么結論應該是正確的直覺。

（2）滲透數學的哲學觀點及審美觀念。直覺的產生是基于對研究對象整體的把握，而哲學觀點有利于把握事物的本質。這些哲學觀點包括數學中普遍存在的對立統一、運動變化、相互轉化、對稱性等。例如（a+b）2=a2+2ab-b2，即使沒有學過完全平方公式，也可以運用對稱的觀點判斷結論的真偽。

美感和美的意識是數學直覺的本質，提高審美能力有利于培養數學事物間所有存在著的和諧關系及秩序的直覺意識，審美能力越強，則數學直覺能力也越強。狄拉克于1931年從數學對稱的角度考慮，大膽地提出了反物質的假說，他認為真空中的反電子就是正電子。他還對麥克斯韋方程組提出質疑，如果一個物理方程在數學上看上去不美，那么這個方程的正確性是可疑的。

（3）重視解題教學。教學中選擇適當的題目類型，有利于培養、考察學生的直覺思維。

例如選擇題，由于只要求從四個選擇支中挑選出來，省略解題過程，因而容許合理的猜想，有利于直覺思維的發展。實施開放性問題教學，也是培養直覺思維的有效方法。開放性問題的條件或結論不夠明確，可以從多個角度由果尋因或由因索果，提出猜想，由于答案的發散性，有利于直覺思維能力的培養。

（4）設置直覺思維的意境和動機誘導。這就要求教師轉變教學觀念，把主動權還給學生。對于學生的大膽設想給予充分肯定，對其合理成分及時給予鼓勵，愛護、扶植學生的自發性直覺思維，以免挫傷學生直覺思維的積極性和學生直覺思維的悟性。教師應及時因勢利導，解除學生心中的疑惑，使學生對自己的直覺產生成功的喜悅感。

“跟著感覺走”是教師經常講的一句話，其實這句話里已蘊涵著直覺思維的萌芽，只不過沒有把它上升為一種思維觀念。教師應該把直覺思維冠冕堂皇地在課堂教學中明確地提出，制定相應的活動策略，從整體上分析問題的特征，重視數學思維方法的教學，諸如換元、數形結合、歸納猜想、反證法等，對滲透直覺觀念與思維能力的發展大有稗益。

總之，直覺思維與邏輯思維同等重要，偏離任何一方都會制約一個人思維能力的發展，數學的全部力量就在于直覺和嚴格性巧妙地結合在一起，受控制的精神和富有美感的邏輯正是數學的魅力所在，也是數學教育者努力的方向。