例析方程與函數(shù)的轉(zhuǎn)化

摘要： 我們這里所說的方程與函數(shù)的轉(zhuǎn)化，是指把比較難的數(shù)學函數(shù)用方程的方法進行解答。反之即是把難度大的方程問題用函數(shù)的觀點（知識）去解決。這種思想方法是解決數(shù)學問題的重要思想方法之一，也是高職學生應(yīng)該掌握的數(shù)學方法之一。本文通過以下例題分析這種思想方法在解題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞： 方程 函數(shù) 轉(zhuǎn)化

方程是初等代數(shù)的主要內(nèi)容，在這個階段主要是突出研究已知量與未知量之間的等量關(guān)系，通過設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程這樣解題思路和步驟，達到求值的目的，它是解決各類計算問題的基本思想，是運算能力的基礎(chǔ)。

函數(shù)在初等代數(shù)中也占有很大的篇幅，它主要包括函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)，重點學習幾類典型的函數(shù)。函數(shù)是數(shù)學問題在更高層次上的抽象、概括與提煉，是從數(shù)學問題的各部分內(nèi)容的內(nèi)在聯(lián)系和整體角度來考慮問題、研究問題和解決問題。在研究方程、不等式、復數(shù)、數(shù)列、解析幾何等其他內(nèi)容時，函數(shù)思想也起著十分重要的作用。

方程與函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，既是方程思想與函數(shù)思想的體現(xiàn)，也是兩種思想綜合運用的體現(xiàn)，是研究變量與函數(shù)、相等與不等過程中的基本數(shù)學思想。方程與函數(shù)是密切相關(guān)的，如方程f(x)=0的解是函數(shù)y=f(x)圖象與x軸交點的橫坐標；函數(shù)y=f(x)，當y=0時，就轉(zhuǎn)化為方程f(x)=0或看作方程y-f(x)=0。函數(shù)與不等式也可以相互轉(zhuǎn)化，對函數(shù)y=f(x)，當y＞0時，就是不等式f(x)＞0，而求f(x)＞g(x)的解則可比較y=f(x)與y=g(x)函數(shù)圖象位置而得到。

一、函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程

例1.已知銳角三角形ABC中，sin(A+B)= ，sin(A-B)= 。

①求證：tanA=2tanB;

②設(shè)AB=3，求：AB邊上的高。

分析：本題是一個三角函數(shù)的證明與計算問題。分析題目后發(fā)現(xiàn)，已知條件比較復雜，因此首要的任務(wù)是變換已知條件，使之出現(xiàn)含有sinA，cosA，sinB，cosB的解析式。

解：由已知兩個等式，得

sinAcosB+cosAsinB= ， sinAcosB-cosAsinB= 。

研究這兩個等式發(fā)現(xiàn)，左側(cè)的兩個解析式只相差一個符號。實際上，可把sinAcosB看成一個未知數(shù)，把cosAsinB看成另一個未知數(shù)，于是上面兩式是關(guān)于這兩個未知數(shù)的一個方程組，解這個方程組便可求出：sinAcosB= ，cosAsinB= 。

到此便可以完成第①問的證明，將上兩式左右兩邊分別相除，便可得到tanA#8226;cotB=2，即tanA=2tanB。

在第②問中，可畫出圖形幫助我們進行研究，如圖1所示，從圖中并借助已知條件不難發(fā)現(xiàn)，應(yīng)該先求出tanA和tanB的值。

由sin(A+B)= 及 ＜A+B＜π，可求得tan(A+B)=- ，

展開后得: =- 。

為求出tanA和tanB的值，還應(yīng)再有一個關(guān)于tanA、tanB的方程，這個方程正是第①問所證的結(jié)論：

tanA=2tanB。

解：由這兩個方程組成的方程組，求得：

tanA=2+ ，tanA= 。

下面再解直角三角形，求CD就容易了。

AB=AD+DB= + = 。

由AB=3可解得CD=2+ 。

例2. 已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，a +b +c =1，則a的范圍為?搖?搖?搖?搖。

解：由b+c=1-a平方得b +c +2bc=(1-a)

又b +c =1-a ，則bc=a -a，

由此得到啟示b+c與bc都可用a表示，

故b、c是關(guān)于x的一元二次方程x -(1-a)x+a -a=0的兩根。

故:Δ=（1-a) -4(a -a)≥0，3a -2a-1≤0

解得- ≤a≤1。

點評：如果題目中有兩數(shù)和與這兩數(shù)積時，是組成一元二次方程的必要條件，在轉(zhuǎn)化為一元二次方程后，再用方程特點進行解答，這樣可使疑難問題輕松解決。

二、方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)

例3．已知f(t)=log t，t∈［ ，8］，對于f(t)值域內(nèi)的所有實數(shù)m，不等式x +mx+4＞2m+4x恒成立，求x的取值范圍。

解析：∵ t∈［ ，8］，∴f(t)∈［ ，3］。

原題轉(zhuǎn)化為：m(x-2)+(x-2) ＞0恒成立，為m的一次函數(shù)（這里思維的轉(zhuǎn)化很重要）

當x＝2時，不等式不成立。

∴x≠2

令g(m)＝m(x-2)+(x-2) ，m∈［ ，3］，

問題轉(zhuǎn)化為g(m)在m∈［ ，3］上恒大于0，則g( )＞0g(3)＞0；

解得：x＞2或x＜－1。

點評：首先明確本題是求x的取值范圍，這里注意另一個變量m，不等式的左邊恰是m的一次函數(shù)，因此依據(jù)一次函數(shù)的特性得到解決。在多個字母變量的問題中，選準“主元”往往是解題的關(guān)鍵。

三、方程和函數(shù)統(tǒng)一的思想

例4.已知 =1，（a、b、c∈R），則有（）。

A. b ＞4ac； B. b ≥4ac；C. b ＜4ac；D. b ≤4ac。

解法一：依題設(shè)有 a#8226;5－b#8226; ＋c＝0

∴ 是實系數(shù)一元二次方程ax +bx+c=0的一個實根；

∴△＝b -4ac≥0∴ b ≥4ac 故選(B)。

解法二：去分母，移項，兩邊平方得：

5b =25a +10ac+c ≥10ac＋2#8226;5a#8226;c＝20ac

∴ b ≥4ac故選(B)。

點評：解法一通過簡單轉(zhuǎn)化，敏銳地抓住了數(shù)與式的特點，運用方程的思想使問題得到解決；解法二轉(zhuǎn)化為b 是a、c的函數(shù)，運用重要不等式，思路清晰，水到渠成。

從以上的例題分析我們可以看到，方程與函數(shù)是數(shù)學中相互轉(zhuǎn)化的，只要實際的問題能夠列出方程或找出函數(shù)關(guān)系，我們總是可以解得其結(jié)果的。

參考文獻：

［1］虞濤.函數(shù)思想的應(yīng)用［J］. 數(shù)學通訊，2001.1.

［2］陳柏良.例談函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用［J］ 中學數(shù)學雜志，2004.1.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”