新課標下數學概念教學對學生思維能力的有效培養

摘要： 數學概念是思維的“細胞”。各種能力，如運算、邏輯思維、空間想象能力，以至于創新能力等，無一不以清晰的概念為基礎。這些能力的強弱與相應概念的理解深度緊密相連，并且能力的發展受相應概念的理解深度制約。要搞好數學概念教學工作，就應根據不同的概念，采取靈活多樣的教學方法，才有利于培養學生的思維能力。

關鍵詞： 新課標 數學概念 思維能力

數學概念是揭示現實世界空間形式與數量關系本質特征屬性的思維方式，其本身具有嚴密性、抽象性、科學性和明確規定性。數學教學的本質是思維展示和發展的過程，在這個過程中，數學概念教學是一個重要環節，也是學生數學思維能力產生和發展的初始階段。抓好這個環節可以培養學生良好的數學思維能力，進而在整個數學學習過程中達到事半功倍的效果。如何在概念教學中培養學生的思維能力是數學教學中的重中之重，筆者結合自己的教學實踐對此提出一些看法：

一、重視概念教學，強化概念意識

數學概念是數學思維的指向燈，只有具備了正確的數學概念意識才能使數學思維能力向良性方向發展。教師要重視概念教學，強化學生的概念意識。

筆者在給高一新生上的第一堂數學課中提出的第一個問題是：“什么是數學？”有些學生馬上說：“是數的學問。”筆者提示道：“那數學就只研究數字不研究幾何圖形了嗎？”有學生補充說：“數學是研究數與形的學問。”筆者告訴他們這還不是最好的回答，讓他們在下面討論一下到底什么是數學。

二、定向引導，深入研究，抓好概念教學的初始階段，培養良好的思維能力

人的思維是有一定惰性的，它常使人們對問題的理解停留在知識的表象，滿足于一知半解。因此，在數學概念教學中，教師要善于定向引導，并且運用適當的方法（比如概念同化、概念遷移等），讓學生由表及里、步步深入地學習某個概念，這樣才能使學生的思維能力得以提高和優化。

例如，在教函數概念之前，筆者設計了一個引入部分：讓學生來研究正方形的面積與邊長之間相互變化的規律。先給出幾組邊長的數據讓學生計算正方形的面積，進而讓學生來求：當邊長為x時，正方形的面積y的值。在這個基礎上讓學生總結得出函數的初中定義：在一個變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一的值與之對應。那么說x是自變量，y是x的函數。然后，強調定義中的兩個“一”即“每一”和“唯一”。此時拋出一個問題：用你所學知識給函數重新下一個定義。由于映射的概念剛剛學過，學生很容易得出函數的映射概念。由于是自己探索出來的概念，他們會有一種成就感，學習興趣提高。

三、在概念教學過程中提高學生思維能力的策略

1.展示概念背景，培養思維的主動性。

在數學概念教學過程中向學生展示概念產生的背景，激發學生的好奇心，達到讓學生主動思考的目的，從而培養思維的主動性。

我在講述對數概念時，先講述對數的起源。對數起源于想把大數的相乘問題轉化為加減問題的思想。我在黑板上寫出兩列數，如：

……-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6，7，8……

…… ， ， ， ，1，2，4，8，16，32，64，128，256……

要計算8×16，只需在下一列數中找到8與16，在上一列數中找到其對應的數3和4，3+4=7，在上面一列數中找到7，7在下一列數中所對應的數為128，則8×16的值為128。再如，求16 ，可轉化為尋找16所對應的數為4，4+4=8，則16 的值為256。這種特殊的算法一下子引起學生的好奇心，激發起他們對對數學習的欲望。從教學反饋的效果來看：大多數學生能夠較好較快地掌握對數概念，并且在學習對數運算性質log M#8226;N=log M+log N時都能較快理解并接受。

2.創設求知情境，培養思維的敏捷性。

數學概念一般比較枯燥乏味。如果只是照本宣科地講述，學生容易失去興趣，進而影響概念的理解和記憶。在講述概念之前若能夠創設一個求知情境，則不僅教學效果非同一般，而且能夠培養學生思維的敏捷性。

在講述指數函數的概念時，我給學生提出“楊白勞的債務”問題：楊白勞三月初借黃世仁2元錢，月底要還4元錢，月底無法償還，請求延期。四月底要還8元錢，仍無法償還，又請求延期。如此下去，年關時要還多少錢？學生答：2 =512元。我又問：x月后要還的錢數y應該多少呢？學生答：y=2 元（x∈N ）。此時，我說，若把這里的“2”推廣到a（a＞0，且a≠1），定義域推廣到R，則可得到指數函數的概念是……學生很快理解我的意思，自己總結得出指數函數的概念。從他們喜悅的表情可以看出：這個概念他們已經理解并接受了。

3.精確表述，細致剖析新概念，培養思維的縝密性。

思維的縝密性表現在抓住概念的本質特征，對概念的內涵與外延的關系全面深刻地理解，對數學知識結構的嚴密性和科學性能夠充分認識。因此，當概念形成后，要求學生能夠準確地表述概念。

例如：在講述三角函數的概念時，對六個基本三角函數的定義，以正弦函數sinα= 為例進行如下分析：它本質上是一個比值，是角α的終邊上任意一點的縱坐標y與這一點到原點的距離r的比值；由于∣y∣≤r，所以這個比值不超過1；與點在終邊上的位置無關；這個比值的大小隨α的變化而變化，當α取某個確定的值，比值有唯一確定的值與之對應。經過對正弦函數概念的本質屬性分析之后，指出角的終邊上的任意點P（x，y）一經確定，就涉及x，y，r這三個量。任取兩個組成比值，共有六組，對應著六個基本三角函數。這樣對三角函數的內涵和外延就都揭示得十分清楚了。

4.運用新概念，培養思維的深刻性。

思維的深刻性主要表現在理解能力強，能抓住概念、定理的核心及知識的內在聯系，準確地掌握概念的內涵及使用的條件和范圍。在用概念判別命題的真偽時，能抓住問題的實質；在用概念解題時，能抓住問題的關鍵。在運用概念時，除了用典型的例子從正面加深對概念的理解、鞏固概念之外，還應針對某些概念的定義中有些關鍵性的字眼不易被學生所理解，容易被忽視；某些概念的條件比較多，常顧此失彼，不易全面掌握；某些概念與它的鄰近概念相似，不易區別。通過舉反例，從反面來加深學生對概念的理解。

例如，反函數的概念在新課程中簡單帶過，學生學起來有些吃力。當學完互為反函數的函數圖象關系時，我讓學生來判斷：

（1）互為反函數的圖象關于直線y=x對稱；

（2）關于直線y=x成軸對稱的兩個圖形一定是互為反函數的一對函數圖象。

學生很容易判斷出（1）是正確的，判斷（2）卻有些困難。我讓學生來觀察圖1。這樣，學生根據函數概念及反函數的概念可判斷出（2）是錯誤的。同時，他們也對反函數的概念又有更深一層的理解。

總之，在數學概念教學中應重視科學地培養學生的思維能力，使學生的學習過程成為認識—實踐—再認識—再實踐的過程，讓他們通過概念的學習，鍛煉自己的思維，學會用數學的眼光看數學，用數學的思維想數學，從而不斷提高自己的數學水平。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”