高等數學教學中培養創新能力的有效方法及實現途徑

高等數學不僅是學習其他專業課程的基礎與工具，而且對學生數學方法的掌握、思維能力的培養、嚴謹治學態度的養成、科學世界觀的確立都具有非常重要的意義。但由于其概念的抽象性以及定理、習題證明方法的復雜性，常常使學生感到無從入手，并由此產生畏懼心理和厭學情緒。因此高等數學教學質量的提高及教學方法的探討和研究一直為教師所關注。提高全民族的素質，培養高素質的創新人才正成為當前我國發展的關鍵戰略，正如江澤民同志所指出的：“創新是一個民族進步的靈魂，是國家興旺發達的不竭動力。一個沒有創新能力的民族難以屹立于世界先進民族之林。”作為高校的數學教育工作者，培養創新型數學人才，更新教學理念，緊密結合本學科的特點，努力探索培養學員創新能力的途徑，是時代賦予我們數學工作者的使命。下面是本人對高等數學教學與創新的能力的培養幾點體會。

一、高等數學教學中培養創新能力的有效方法

1.化繁為易、化抽象為具體的方法。

在高等數學教學中介紹數學的基本概念、基本方法、基本思想，突出計算能力、應用能力的培養，通常采用化繁為易、化抽象為具體的方法。數學概念的引入，一般不宜直接拋出，而應把概念的發生、形成、探索過程呈現出來，例如模擬一個概念產生發展的過程——在初始的探索階段中。大多數概念由于它的抽象性，常使學生感到不可捉摸，這時應當為學生提供一個概念的模型，可以是一個特例、一個類比、一種比喻，或一個實物，當然，概念的各種性質應在模型中得到較好的體現，在介紹基本定理的時候，不拘泥于“定理—證明”的單一模式，有些僅給出結論，即降低理論性，突出對結論的應用，即數學的“工具性”。對于抽象性比較強的內容，注重精選典型的例子引入，并通過例子逐步展開理論，引導學生思考得出有關結論。如地球表面是一個球面，可為什么我們平常看到的卻是平面呢？實際這就是曲面上微小的局部可以看作是平面，曲線在很小范圍內也可以看作是直線。這樣，就拉近了數學和生活的距離，給學生提供了一個具體的可供想象的空間。在導數概念、定積分概念的教學中，在局部“以直代曲”、以“不變代變”的重要的數學思想方法，學生就會容易地理解。

2.理論教學中輔以應用知識和多媒體技術的方法。

面向專業需求是高等數學課程建設以就業為導向的具體表現，不同的專業學習不同的數學知識，強調教學內容的實用性和針對性，主動配合專業技術教學，在內容上和教學銜接上滿足專業技術教學的需要，滲透專業氣氛。教師平時應注意收集與學生所學專業相關的材料，教學過程中應盡可能選取與專業相關的實例引入數學知識，指出數學與現實世界存在廣泛的聯系，引導學生從實際中發現問題，并歸結為數學模型，嘗試用數學知識和方法去解決問題。如《經濟數學》課程，在學習微積分有關內容時，可以適當選取利率問題、投資問題、經濟優化問題等；經濟管理類專業可以介紹邊際的概念；機電類專業可以介紹速率、線密度等問題；農科類專業可以介紹細胞繁殖速度、邊際產量和最大利潤率施肥量問題，等等。又如實際問題如何建立微分方程模型是比較難的，在介紹微分方程時可以舉抵押貸款買車買房問題、人口增長等多個例子，進一步介紹Logistic模型，說明該模型的廣泛應用性。這樣既能讓學生了解到數學的巨大作用，又能提高學生的學習興趣。運用多媒體技術能夠描繪靜態或動態的圖形和圖象，使枯燥、抽象的數學知識變得生動而又具體，可以將難以用語言描述、難以為學生所接受和理解的知識變得形象、直觀、簡潔，為學生呈現其它教學手段所不能提供的經驗背景。比如曲面與曲線涉及較多的空間圖形，利用多媒體輔助教學，可以形成視覺上的沖擊，有助于學生感性認識上升到理性認識，從形象思維過渡到抽象思維，從而有效地突破教學難點、掌握重點。

3.分層次的教學方法。

大學生在數學知識掌握程度、數學想象和思維能力、對數學學習的情感與態度等方面有顯著差異，這些差異也是學生學習高等數學的認知基礎和情意水平方面的差異，將直接影響學生對高等數學的學習。若對所有的學生都做同樣的要求，就會出現一部分學生感到所學內容難以接受，而另一部分學生又感到內容偏少、知識面窄的情況。因此在內容的選擇上應體現一定的彈性，注意滿足不同層次學生的不同的需求，積極為學生的個性化學習搭建平臺、拓展空間。教學中可實行同步授課、目標分層、練習分層、作業分層、考核分層，使不同層次的學生各適其所、各獲其益，實現有差異的發展，以提高全體學生的學習積極性。例如“導數的概念”的教學，在要求全班學生理解導數概念的基礎上，建立三級教學目標。一級教學目標：了解用定義求導數的方法，掌握由定義推出的基本初等函數求導公式；二級教學目標：了解導數的實質及有關變化率的模型，掌握用定義求導數的三個步驟；三級教學目標：掌握導數的實質，能利用導數討論有關變化率的模型，討論分段函數在分段點處的導數。

4.重發展性的教學方法。

現在的高等數學考試內容單一，試題側重記憶，以計算方法和技巧為主，考試形式幾乎是清一色的筆試，不能反映出學生的真正的數學水平，不利于創新型人才的培養。因此，我們必須改變只重考試成績、忽視過程評價的做法，采取鼓勵、肯定、積極的發展性評價，建立多元動態的教學評價體系。一是改革考試目的，既考核學生的數學知識掌握程度，又側重于考查學生運用數學知識和解決實際問題的能力，特別是鼓勵和培養學生的創新精神。如可通過數學建模的方式將書本知識與真實任務相結合，以此來考查學生的學習結果。二是改變考試方法，做到形式多樣，能力考試與綜合考試相結合，閉卷考試與開卷考試相結合，有機地將終結性評價與形成性評價結合起來，給予學生多次評價的機會。三是用全面發展的標準來評價學生，將考試和其它評價方法相結合，全面描述學生發展狀況，注重學生綜合素質的考查，以實現“知識與技能”、“過程與方法”以及“情感態度與價值觀”的全面發展。

5.網站式的教學方法。

教學網站是一種全新的計算機輔助教學手段，從某種意義上來講，教學網站是一個教學平臺，在這個平臺上，教師可以展示高等數學與各專業的聯系以及各種教學素材（教案、習題等），還可以增加師生交流區，供學生和教師交流心得。任何一種教學風格、教學技能、教學特點均可以在這個平臺上得以充分展示，這種圖文并茂、聲像俱呈的教學手段有利于教師更好地實施自己的教學構想和達到自己的教學目的。另外，教學網站還具有開放性和拓展性，通過超級鏈接向外延伸，為師生的教與學提供了豐富的教學資源。

二、實現高等數學教學中培養學生的創新能力的方法及途徑

本節就上述方法的實現研究相關的有效途徑。科學的方法能促進學生創新能力培養，落后的教學方法只能阻礙甚至扼殺學生的創新精神與創新能力。高等數學教學方法的選取與具體教學內容密切相關，從教學方法角度考慮，高等數學的教學內容可分為三大類：概念性內容、理論性內容和應用性內容。不同類型的教學內容對學生創新能力的培養有著不同的側重點，教師應針對這些不同的側重點，采取相應的教學方法，以增強學生創新能力培養的有效性。

1.概念性內容應充分再現數學發現的思維過程

發現思維過程的指導思想是在教師的啟發下，使學生自覺、主動地研究客觀事物的屬性，發現事物發展的起因和內部聯系，從中找出規律，形成自己的概念。《高等數學》中的許多重要概念，如極限、連續、導數、微分、定積分、重積分等都是從一些不同科學領域中的實際問題經過高度抽象而得到的，它們都是前人開創性工作的結晶，其形成過程本身就是一個個充分體現創新思維的全過程。如果教師能夠合理運用這些教學內容，不是按部就班地講授，而是從提高學生的創新能力出發，有意識地引導學員積極思考，從實際問題中透過現象看本質，使他們的思維真正融合于這些重要概念所蘊涵的數學思想，從而親自體驗概念產生的創新思維的全過程，就能順理成章地重新“啟發”這些重要概念。在進行概念性內容的教學時，創新能力培養的重、難點都在于課堂上如何處理好教材上已知的定義（學員思想上尚未形成）與實例之間的關系，教師不但要引導學生通過實例得到基本數學表達式，更應關注在實例抽象過程中學生思維上相關概念形成的過程，全力引導、啟發學生體會其中的數學思想，只有這樣，才能使學生“發現”這些隱藏在實例中的事物的本質，“提出”相應的概念，達到提高創新能力的目的。如在定積分概念的教學中，教員應把重點放在如何引導學員深入分析曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程這兩個問題上，從處理曲與直、變速與勻速之間的相互轉換過程中感悟定積分的思想方法，再通過他們自己的抽象、歸納，自然而然地“創造”出定積分的定義。再比如，在講解牛頓—萊布尼茲公式時，教師應通過變速直線運動位移的不同計算方法，著重講清、講透牛頓—萊布尼茲是如何發現定積分與被積函數原函數之間的內在聯系，然后又是如何通過引入一類新的函數——變上限函數而證明了牛頓—萊布尼茲公式，最終給學生展示牛頓—萊布尼茲公式發現的全過程，讓學生體會或領略到前人創新思維的真諦，以增強他們自己創新的信心。

2.理論性內容應充分體現探索式教學之中

探索式教學法是由教員根據教學內容，適當設置或改變一些條件，提出相應的問題，引導學生通過探索、研究，揭示問題的內部規律的一種教學法。它的主要優點是可以充分發揮學生的觀察力、思維力、想象力和創造力，利用學員在探索過程中產生的新奇、困惑，激起他們的大膽猜測，促進他們創造性思維能力的提高。《高等數學》的理論性內容主要包括定理、性質等，作為教材上的這些內容，經過人們長期的提煉，往往抹去了它們最初形成的痕跡，使得邏輯關系十分嚴密，對學習者的推理能力要求較高，若教授不得法，不注意引導學員研究這些內容形成的前因后果，照本宣科，就會使學員感到枯燥無味。對這部分內容的引入，切忌突然搬出，這樣會使學員感到神秘莫測，匪夷所思，望而生畏，應該根據已知知識與新內容之間的內在邏輯關系順其自然地引入定理，在分析定理條件與結論之間的聯系時，通過變更條件、提出相關問題，使學員置身于定理出現前的情景，再經過引導學員運用比較、分析、演繹、綜合、歸納等方法，弄清定理條件與結論的必然聯系，達到感知定理產生過程，強化創造性思維能力訓練的目的。如在微分中值定理的教學中，首先設置函數f(x)在［a，b］上連續，在（a，b）上可導，并且f（a）=f（b）的幾何直觀背景，要求學生觀察曲線y=f（x）上水平切線的存在性，然后改變上述條件中的任一個，再觀察曲線y=f（x）上水平切線的存在性，分析種種可能出現的情況，由此推測出Rolle定理。在引進Lagrange定理時，教員去掉Rolle定理中的條件f（a）=f（b），要求學生觀察曲線上y=f（x）切線與連接兩點（a，f（a））、（b，f（b））的弦的位置關系，通過比較、類比，學生就可以猜測到Lagrange定理的結論。通過上述過程，不但提高了學生的創新意識，還能夠讓學生感受到探索未知，獲取真知的樂趣。

3.應用性內容應著眼于學生的發散思維和聚合思維的培養

聚合思維在內容上具有求同性和專注性，發散思維在內容上具變通性和開放性。每個人的思維都有聚合性，又有發散性。因而，學生的發散思維能力和聚合思維能力培養這兩者應相輔相成，不可偏廢。在數學教育中，往往更強調對學生聚合思維的訓練，而對發散思維訓練較少注意。事實上，由于高數教材的表述側重于聚合思維，教師要善于挖掘和選取數學問題中具有發散思維的素材，恰當地確定發散對象或選取發散點，以此培養學生發散思維。《高等數學》的應用性內容，在這里包括計算性內容和應用題內容，計算題和應用題往往靈活多變，解法多樣，對每個學員而言，由于受到觀察問題的視角以及自身相關知識的局限，往往會受到某種思維定勢的影響，只能找到某一種解決方法，有時甚至找不到思路。如果教師能組織學生進行討論，互相交流，互相啟迪，就可以匯集大家的智慧，從多角度、多途徑尋找解決問題的方法。在討論過程中，要鼓勵學員敢于標新立異，善于一題多解、一題多變，從而達到活躍思維、發散思維、提高創新能力的目的。

三、結束語

人才培養模式的創新依靠課程改革，課程改革的基本途徑是課堂教學。如何用有效的教學方法培養大學生創新能力是本文主要探討的內容。本文給出了行之有效的培養創新能力的教學方法及實現該方法的途徑。教師只有以先進的現代教育教學理念為指導，不斷總結提高自己的日常教學，才能真正創新人才培養模式。采用恰當的教學方法，以培養學生的創新能力，是一項艱難而又十分有意義的創新性工作，需要我們不斷探索、不斷創新，以適應未來創新型人才培養的需要。