學會審題 轉變學習方式

一、問題提出

今年，我女兒參加高考，她的數學得110分，接近學校的平均分，第10，17兩道應用題幾乎沒有得分，其實這兩道題屬于中檔題，是兩道區分度較高的好題，這讓我聯想到她的作文《他們》，由于沒有理解題目要求，竟寫成了議論文。我的鄰居家的女孩在我校直升班中，平時成績一直很優秀，她的數學也是110分，出現的失誤幾乎和我女兒一樣，第21題看錯了題，把 =， ≥3中 ≥3看成n≥3。我想，二人的情況具有一定的代表性，要提高教學成績，務必加強對學生審題能力的培養，改變其被動接受的學習方式，促使學生從記憶向理解的轉變。

二、原因分析

（一）教師對重點難點內容沒有進行有效地組織教學，實施突破，對學生的經驗、思考、活動、再創造等現代課堂要素沒有投入足夠的關注；課堂上教師的解說多于學生的表述，機械地計算多于理解的學習，對題目研究較多，對學法指導及新高考研究較少。

（二）學生過分依賴教師與課本的講授，并機械記憶，只滿足于通過模仿去獲得答案，而不考慮對概念定理達到應用的層次；對新情景中的材料與問題不是通過分析、發散、選擇，為我所用，而更多地表現出焦慮不安，缺乏主體意識。

（三）“理解”是在教學過程中對某一問題從各個不同角度的發散思維、逆向思維活動，要求學生能在新的情境中說明、發現、生成、運用、類推或描述已學的知識，這在習慣了依賴老師講解與機械模仿做題的學生看來是浪費時間。

三、解決策略

《中小學數學課程標準》強調讓學生“會學”，切實有效地改進學生的學習方式，倡導自主學習能力的培養。而在高中數學學法指導中，加強學生閱讀、審題能力的培養，逐步改變機械記憶的學習方式，符合這個基本理念。

審題，就是要讀懂題意，認清題目中的關鍵概念與知識，不被符號、文字、圖形、不斷的陌生問題情景所嚇倒。學生在解綜合題時，常見的問題是，要么不會做，要么思維不嚴謹，出現殘缺不全或錯誤的解答，而在考試后恍然大悟，后悔莫及，通常的說法是“看錯了題”，其實這與審題不清有關。那么，如何培養學生的審題能力呢？

（一）強化審題意識

在數學教學，特別是解題教學過程中，教師不但要始終強調審清題意，還要善于發現與暴露學生由于不善審題而引出的困惑。通過對具體問題的分析，讓學生認識到審題是一根貫穿在解題過程，逐步尋求突破點的引線。

例1．設 是平面直角坐標系 中的點， 是經過原點與點 的直線. 記 是直線 與拋物線 的異于原點的交點，已知動點 滿足 ， . 若點 始終落在一條關于 軸對稱的拋物線上，試問動點 的軌跡落在哪種二次曲線上，并說明理由.

分析：錯解一，設關于 軸對稱的拋物線為y=ax +bx+c；錯解二，設拋物線為y =2p（x－n）；錯解三，設拋物線為y =2qx。這都是沒有認真審題惹的禍。

思路：設 所在拋物線的方程為 ，點 的坐標為 ，所以

即 =0。當 時，有 ，點 在拋物線 上；當 時，點 在圓上；當 且 時，點 在橢圓上；當 時，點 在雙曲線上.

實際應用問題，在情景上一般比較新穎，在知識上具有綜合性和滲透性，解題方法靈活多樣，所以對一般學生來說，可能讀不懂題，不能合理建?；蛩憷聿磺??！冻晒逃芬粫o出了一個訓練方法：第一節課出示10道題，只讀題審題；第二節課只建立數學模型；第三節課選擇算理算法，正確運算。這種訓練方法強調了讀題審題的重要意義。

（二）抓住隱含條件，掌握審題方法

一抓操作試驗

有些題目提供了一些具有啟發性的解題思路或方法，如若不善于捕捉其中所蘊含的數學思想，掌握方法本質，那么將如同進入寶山而一無所獲，于事無補。

例2．方程x + x-1=0的解可視為函數y=x+ 的圖像與y= 的圖像的交點的橫坐標，若方程x +ax-4=0的各個實根 ， ，…，x ，(k 4)所對應的點（x ， ）(i=1，2，…，k)均在直線y=x的同側，則實數a 的取值范圍是.

分析：由“形”到“數”的轉化，往往比較明顯，而由“數”到“形”的轉化卻需要轉化的意識，因此，數形結合的思想的使用往往偏重于由“數”到“形”的轉化，且前者常常適用于解答題，而后者適用于小題。況且從題目可以審出解答本題的方法是數形結合，但多數同學仍用代數法，0.18的得分率也就不足為奇了。

思路：x +a= ；設y=x +a，y= ，當二者的圖像 y=x

都過A（-2，-2）時a=6，當a﹥6時，兩圖像的交點在直y=x +a y=

線y=x上方；當a﹤-6時，交點在直線y=x下方，如圖1。 o x

二抓關鍵概念

有些數學概念如三角形、圓錐曲線等具有明顯的數量關

系特性，有時需要從分析概念入手尋求解題方法。圖1

例3.點P在拋物線(y-1) = 8x上，P到拋物線的頂點的距離與到準線的距離相等，求P的坐標。

分析：在圓錐曲線中，涉及焦半徑的問題，用定義求解往往比較簡單；本題把P到準線的距離化為到焦點的距離，易得頂點（1，0）與焦點（2，1）的中點為（1，1）。

三抓常量與變量

今年上海高考試題中字母較多，干擾了學生的思考，特別是在解決實際問題時，務必分清常量與變量。

例4．某海域內有一孤島. 島四周的海平面（視為平面）上有一淺水區（含邊界），其邊界是長軸長為 、短軸長為 的橢圓. 已知島上甲、乙導航燈的海拔高度分別為 、 ，且兩個導航燈在海平面上的投影恰好落在橢圓的兩個焦點上. 現有船只經過該海域（船只的大小忽略不計），在船上測得甲、乙導航燈的仰角分別為 、 ，那么船只已進入該淺水區的判別條件是.

分析：本題有6個常量，但有的同學沒有審清題意，把 、

當成變量并求范圍，這是嚴重的思維定勢。

思路：由橢圓上的點聯想到橢圓內一點 滿足：，所以 。

四抓算理算法

算理就是計算的基本道理，包括數字運算、字母運算、代數式的恒等變形、方程的恒等變形等，選擇簡捷的運算可以節省時間提高正確率。

例5．某住宅小區的平面圖呈扇形 . 小區的兩個出入口設置在點 及點 處. 小區里有一條平行于 的小路 . 某人從 沿 走到 用了10分鐘，從 沿 走到 用了6分鐘，若此人步行速度為每分鐘50米，求半徑 的長。

分析：設扇形半徑為 米，連接 ，在 中， ， ， ，有的同學選擇正弦定理列方程組，由于算法不當導致錯誤。由余弦定理易得r約為445米，如圖3：.

五抓語言轉化及等價轉化

熟練進行符號語言、文字語言、圖形語言之間的轉化是解決許多

數學問題的關鍵，但有時需要對字母討論，確保等價轉化。

例6、如圖4，在平面直角坐標系中， 是一個與 軸 軸的正

半軸分別相切的定圓所圍成的區域含邊界，A、B、C、D是圓的四等

分點，若點 、 滿足 且 ，則稱 優

于 ，如果 中的點 滿足：不存在 中其它點優于 ，那么所有

這樣的點 組成的集會是劣弧 （）

分析： 優于 即 且 即 位于 的左上方， 不優于 即 不能位于 的左上方，不存在 中其它點優于 即不存在 中其它點在 的左上方，但與 優于 不等價，選D。

（三）促進學生從記憶學習向理解學習轉變

概念不清是導致錯誤的深層原因，一個概念的形成是需要學生經歷操作，自主發現的過程，然后把這個過程逐漸內化，最終形成結構性的概念，如學生都知道橢圓的標準方程與定義，也知道橢圓內的點的坐標滿足的關系式，但不知道方程的推導及橢圓內的點到兩焦點的距離之和滿足的關系式，因為復習時老師沒有講，這是概念不清導致的依賴癥?，F代數學課堂教學，就是要讓學生“高認識、高參與、高情意”地投入學習，多一些教學預案，多一些生成，多一些探究，創造促進學生從記憶學習向理解學習轉化的條件。

總之，希望能通過對審題能力的培養，對學生的注意點、學習方式等養成教育產生潛移默化地影響，使學生能跳出問題想方法，進入問題想細節，讓知識之間的聯系多一些，方法的觸角伸得遠一些，在面對陌生的問題情景時理智從容一些，逐步提高學生的數學能力與數學素養。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文