小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中值得注意的幾個問題

小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，根據(jù)小學(xué)生不同階段的認知水平，數(shù)學(xué)概念采取了不同的呈現(xiàn)形式，有的數(shù)學(xué)概念只給出了概念的名稱，有的數(shù)學(xué)概念只是描述了概念外延的一部分，對于有的概念，則以比較通俗的語言揭示概念的本質(zhì)屬性，有的則給出了概念的數(shù)學(xué)定義，但不管采取哪種形式，都要與將來數(shù)學(xué)中的嚴格定義不矛盾。數(shù)學(xué)概念呈現(xiàn)形式的多樣性，增加了小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的難度，也引發(fā)了一些問題。下面是在小學(xué)聽課的過程中以及在與小學(xué)數(shù)學(xué)教研員的交流過程中，收集到的一些小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的問題，現(xiàn)就這些問題進行討論，供大家參考。

一、平行四邊形概念的教學(xué)中本質(zhì)屬性揭示過度的問題

“人教版”義務(wù)教育課程標準實驗教科書《數(shù)學(xué)》(以下簡稱《數(shù)學(xué)》)(三年級上冊)的第三單元中的第二部分為“平行四邊形”，“平行四邊形”概念以“描述外延的一部分”的形式呈現(xiàn)：從學(xué)校大門上的圖案中抽象出圖形，然后說：“這樣的圖形是平行四邊形”。

我們在深入小學(xué)聽課時，聽到了這樣一節(jié)課，數(shù)學(xué)教師首先用幻燈片給出了學(xué)校大門的圖片，圖片中的大門帶有平行四邊形圖案，其目的是讓學(xué)生初步感知平行四邊形。然后用釘子板圍出各種形狀的平行四邊形，讓學(xué)生進一步感知平行四邊形，接下來的環(huán)節(jié)是揭示“平行四邊形概念的本質(zhì)屬性”。

師：觀察平行四邊形“對著”的這兩條邊，它們的長有什么關(guān)系?

生：(在數(shù)完釘子板上平行四邊形的邊對應(yīng)的格數(shù)后)它們一樣長。

師：我們把平行四邊形“對著”的兩條邊稱作一組對邊，再觀察另外一組對邊，它們的長有什么關(guān)系?

生：也是一樣長。

師：平行四邊形就是兩組對邊相等的四邊形。

師：同學(xué)們想一想，你還觀察到了什么?

生：平行四邊形沒有直角。

師：對，平行四邊形沒有直角。

后面的環(huán)節(jié)是鞏固新知識的練習(xí)，結(jié)果學(xué)生們都把正方形、長方形排除在平行四邊形的范圍之外了。

這里，這位教師顯然犯了一個科學(xué)性的錯誤，這就是由于在概念教學(xué)中對本質(zhì)屬性揭示過度的原因，她把“這樣的”平行四邊形的屬性“沒有直角”當作平行四邊形的本質(zhì)屬性揭示出來，實際上，“這樣的”平行四邊形只是平行四邊形的一種，這就是所謂的“描述外延的一部分”的呈現(xiàn)形式。由于描述的不是概念外延的全部，因此，不是“這樣的”四邊形也可能是平行四邊形。在教學(xué)中最好的處理方法是強調(diào)“這樣的圖形是平行四邊形的一種”。

二、關(guān)于“分類”

《數(shù)學(xué)》(一年級上冊)的第5單元是“分類”，關(guān)于“分類”這一概念，教材只給出了概念的名稱。在與之配套的《教師教學(xué)用書》中，對分類作了如下描述：“分類思想是一種基本的數(shù)學(xué)思想。它是根據(jù)一定的標準，對事物進行有序劃分和組織的過程。分類活動包括一系列復(fù)雜的思維過程?！痹摃o出的參考教案中有一個環(huán)節(jié)是揭示概念：“像阿姨這樣，把一樣的東西放在一起就叫分類”。到底什么是分類呢?許多小學(xué)數(shù)學(xué)教師不能明確的回答這一問題。

1.“分類”首先是一個分類學(xué)的概念

科學(xué)上有一門“分類學(xué)”，是專門研究分類的。2001年10月出版的由俞立君編著的《文獻分類》一書中指出：“類是指具有某種共同性的個別事物的集合，表明某些個別事物共有的1種概念，分類是指以事物的本質(zhì)屬性或其他顯著特征作為根據(jù)，把各種事物集合成為類的過程。它是人們認識事物、區(qū)分事物、組織事物的一種邏輯方法”。

2.“分類”也是一個心理學(xué)概念

宋書文主編的《心理學(xué)名詞解釋》對“分類”的解釋是：“思維的具體過程之一。是指依據(jù)事物的本質(zhì)特征、把事物分為不同層次的類別的思維過程。找出事物的一般特征，就是分析；依據(jù)事物一般特征，把事物分為不同層次的類別，就是綜合?？梢?，分類也是分析與綜合的特殊形態(tài)。不經(jīng)過比較，就無從認識事物的一般特性，無從區(qū)別事物的異同，因而也就不可能進行分類。比較是分類的基礎(chǔ)，分類乃是比較的一種變式。事物間可以取其不同的一般特征來比較，分類也可按不同的特征來進行”。

3.“分類”也是一個邏輯學(xué)概念

2005年11月出版由張友誼主編的《普通邏輯學(xué)》給出了“分類”的概念：“劃分是通過把一個概念所反映對象分為若干小類，從而明確這個概念外延的邏輯方法。分類則是劃分的一種特殊形式，是科學(xué)研究中經(jīng)常使用的一種方法”。劃分是分類的基礎(chǔ)，分類在方法、規(guī)則上與劃分是一致的，其不同點是：分類是根據(jù)所分對象的本質(zhì)屬性或特征進行的劃分，而劃分可以用區(qū)別對象的任何屬性作標準進行。分類與劃分比較，分類更具有長期性和穩(wěn)定性，它運用于各種科學(xué)的研究之中，使各門科學(xué)知識體系有長期發(fā)揮作用的價值。

姜全吉編著的《邏輯學(xué)》(修訂版)給出的“分類”概念是：分類是根據(jù)事物的本質(zhì)屬性或顯著特征將事物分為若干個類，使每個類相對于其他類都具有確定的地位。

4.“分類”也是一個數(shù)學(xué)概念

2006年10月出版的徐德余編著的《近世代數(shù)》中給出了“分類”的數(shù)學(xué)定義：“設(shè)一個集合A分成若干個非空子集，使得A中每個元素屬于且只屬于一個子集，則這些子集的全體稱為A的一個分類。每個子集稱為一個類，類里任何一個元素稱為這個類的一個代表?！?/p>

這四種關(guān)于分類的解釋既有區(qū)別，又有密切的聯(lián)系。心理學(xué)里所講的分類，是作為思維的一種具體過程來分析的。它和科學(xué)上的“分類學(xué)”是有區(qū)別的；分類學(xué)中關(guān)于“分類”的表述與邏輯學(xué)中的表述也有區(qū)別；另一方面，分類學(xué)、邏輯學(xué)、數(shù)學(xué)中的“分類”概念都與集合有關(guān)，分類學(xué)中的類就是一個集合，邏輯學(xué)中概念的外延也是一個集合，數(shù)學(xué)中的“分類”指的就是集合的分類。

很明顯，《教師教學(xué)用書》中對分類的描述，是對分類學(xué)、心理學(xué)、邏輯學(xué)中“分類”概念的一個綜合，但卻忽略了“分類”也是一個數(shù)學(xué)概念。而數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性，它并不強調(diào)按什么標準去分類，也可以“無標準”分類，從發(fā)展的角度看問題，為了今后學(xué)生建構(gòu)“分類”的數(shù)學(xué)概念，建議在分類的教學(xué)中，將“把一樣的東西放在一起就叫分類”改為“把具有相同屬性的東西放在一起就是分類的一種”。因為“一樣的東西”的這種表述太模糊，易引起歧義。在教材中，把削過的鉛筆放在一起，但削過的鉛筆有長有短，是不一樣的，但都具有“削過的”這一屬性。

三、關(guān)于“圓”與“半圓”及“圓面”

在與一些小學(xué)數(shù)學(xué)教研員的交流過程中，小學(xué)數(shù)學(xué)教研員們提出了這樣的問題，“圓的面積”這種提法對不對?“半圓”指的是什么?怎樣畫半圓?畫上半徑對不對?要回答這一系列的問題，需要從圓的定義、面積的概念和封閉圖形的概念談起。

一些小學(xué)數(shù)學(xué)教材中“圓”的概念：“當一條線段繞著它的固定的一端在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，它的另一端在平面內(nèi)畫成一條封閉的曲線，這條封閉的曲線叫圓”。

高中數(shù)學(xué)課本中“圓”的定義：“圓是平面內(nèi)到定點的距離等于定長的動點的軌跡”。

兩者雖然用詞不太一樣，但并不矛盾。很明顯“圓”是一條曲線。對于曲線，我們只考慮曲線的長度，不論及它的寬度，更談不上曲線的面積。

而什么又是“面積”呢?《數(shù)學(xué)》(三年級下冊)中對面積的概念作了描述：“物體表面或封閉圖形的大小就是它們的面積”。封閉圖形一般由曲線或線段圍成。而我們習(xí)慣上說的“圓的面積”，實際上是不確切的。所謂“圓的面積”，應(yīng)該是曲線“圓”圍成的封閉圖形——“圓形”的面積，把“圓的面積”敘述成“圓形的面積”更為貼切。

“半圓”應(yīng)該是“圓”的一半，應(yīng)該是一段弧，但為了說明這個“一半”，需要借助于圓的直徑，因此，畫“半圓”時，應(yīng)把直徑畫成虛線。另一方面，“半圓”和直徑圍成“半圓形”，“半圓形”則包括了直徑，因此畫“半圓形”時應(yīng)把直徑畫成實線。

但是，我們也應(yīng)注意這樣一個事實，在復(fù)數(shù)理論中，由于復(fù)數(shù)集與復(fù)平面上的點Z構(gòu)成的集合以及以原點O為起點Z為終點的向量 ；構(gòu)成的集合之間可以建立起一一對應(yīng)關(guān)系，因此，在不引起混淆的情況下，也可以把復(fù)數(shù)、與之對應(yīng)的復(fù)平面上的點以及對應(yīng)的向量等同起來，即可以把復(fù)數(shù)a+bi稱為點a+bi或向量a+bi。如果我們把半徑相等的圓看作同一個圓，在這個意義下，在所有的“圓”構(gòu)成的集合與所有“圓形”構(gòu)成的集合之間也可以建立一一對應(yīng)關(guān)系，因此也可以把“圓”和“圓形”等同起來，即也可以把“圓形”稱為“圓”，也可以把“半圓形”稱為“半圓”。把“圓形的面積”說成是“圓的面積”也就很自然了。因此，“圓”有兩個含義：既有曲線的含義，也有封閉圖形的含義?！鞍雸A”同樣也有兩個含義，既有弧的含義，也有封閉圖形的含義。有的書上把“圓形”稱作“圓面”，其實，從發(fā)展的角度看問題，把“圓形”稱作“圓面”不利于今后學(xué)生建構(gòu)“面”的概念，建議還是稱“圓形”為好。