提高“離散數學”課程教學質量的探索

摘要：本文根據筆者實際教學經驗，從組織教學內容、改進教學方式、啟發式教學、類比法和增加舉例等方面對如何提高離散數學教學效果進行了一些有益的探索。

關鍵詞：離散數學；啟發式教學；類比法；多媒體

中圖分類號：G642 文獻標識碼：B

1現狀分析

離散數學課程的特點就如其名字一樣，一是“離散”，二是“數學”。

“離散”是指這門課程不論從知識結構上看，還是從教學內容上看都非常“離散”。首先，這門課程總共分成四大部分：數理邏輯、集合論、代數系統和圖論，這里面的每一部分似乎都可以獨立成為一個體系。在具體組織教學時可以按照“數理邏輯→集合論→代數系統→圖論”的順序教學，也可以按照“集合論→數理邏輯→圖論→代數系統”的順序教學。其次，在每一個部分的教學內容中往往又是首先列出一大堆由抽象邏輯符號、字母、圖形等建立起來的基本概念，最后才給出相應的理論結果。學生初次學習是往往抓不住重點，找不出各個概念和理論之間的關聯，因而感到學習非常枯燥。甚至有些老師在講課時對于成堆的概念也只是簡單地羅列出來，而對于其中的關聯講解不清楚。

同時，離散數學也是一門很“數學”的課程，具有嚴密的邏輯性、高度的抽象性、廣泛的應用性，但學生對短時間內由大量抽象概念建立起來的數學理論框架體系不適應，對由抽象邏輯符號、字母、圖形等建立起來的邏輯理論感到很茫然、不知所措，不習慣抽象思維，總想在現實中找到實際事物與之對應，從而阻礙了離散數學的學習。同時，大多數學生在開始學時不知道要學習什么，學完之后也不知道怎么應用，導致學習興趣不高。因此，如何提高離散數學課程的教學水平和質量，是一個非常值得研究課題。

2教學方法改革的探索

2.1精心組織教學內容

離散數學課程的教學內容非常多，但大部分高校離散數學的教學課時卻越來越少，筆者所擔任本門課程只有51學時。當然，這也是減輕學生學習負擔的一種手段。那么在這么有限的學時內，一方面，要求老師要把課程講好講透，另一方面，要求學生聽進聽懂，同時提高了教與學的難度。另外，離散數學課程作為一些學校的公共課，班級人數較多，這就要求我們教師作為教學過程的主體發揮出更大的主導作用，必須在講授過程中認真剖析課程內容的難點和重點，注意合理安排教學內容，對教學內容作適當的刪減。對于那些對后繼課程影響不大，而學生又不容易理解的內容索性刪除不講，保證學生學一部分、會一部分、理解一部分，打好理論基礎，為后繼課程打好理論基礎。防止學生出現學了很多，但什么都不能深入理解的情況。

2.2采用多媒體教學

傳統的數學類課程的教學方法主要以板書教學為主，而在離散數學教學過程中，筆者積極嘗試將傳統板書教學方式與現代多媒體教學手段相結合。“離散數學”課程中概念抽象、內容多，傳統的教學方式有助于展示數學思維的過程，但信息量受限；多媒體教學信息量大，但不利于展示數學思維的過程。因此，在“離散數學”的教學中，傳統板書教學方式與現代多媒體教學手段相結合，對于敘述性內容，采用多媒體演示，對于思維性內容，采用傳統的教學方式，一步步推導，展示數學思維的全過程。這種傳統教學方式與現代教學手段相結合的教學方法，很受學生的歡迎。

同時，對于數學類的基礎課程在采用多媒體教學方式時，一定要注意的問題就是千萬不要認為用多媒體教學手段就可以大大加快教學進度。根據本人對著門課程的教學經驗，我們應該把因利用多媒體演示而節省下來的板書時間，用于反復強調解釋所講內容的理解方法以及增加舉例的數量。數學概念和定理的理解往往需要反復強調，反復舉例，以加深學習印象。

2.3啟發式教學

在課堂教學中，我們堅持采用啟發式教學，以知識為載體，培養學生分析解決問題的思維方式和方法。在教學內容中，注意強化基礎，拓寬知識，注重及時將科學前沿和工程技術的最新發展引入教學，拓展學生的視野和增加學生的知識面，培養學生的創新意識和“終身”學習能力；在課堂教學形式上，注意不拘一格，重在師生交流啟發式地“教”，重點講思路、講方法，引導學生思考、理解、歸納、總結，多方位、多角度地發現問題和解決問題，提高學生解決問題的能力，將傳統的以教師為中心的課堂教學模式轉變為以學生為主體的教學模式，活躍了課堂氣氛，既調動了學生學習的積極性，又培養了學生的能力。

2.4類比方法的應用

離散數學的教學內容龐雜，包含了現代數學的多個分支，而且各個部分之間看起來很“散”，聯系不大，甚至在同一部分內部，前后章節之間的關聯看起來也不明顯，簡直像個大雜燴。但是有些看起來不相干的東西，實際上它們之間卻有著許多驚人的相似之處。在教學中，筆者采用類比的方法，揭示出它們相同的內涵，找出它們之間的聯系，從而減少了學生學習上的困難，使得學生可以觸類旁通，舉一反三。例如：

命題與數學函數的類比。高等數學中的函數是由自變量加上數學運算符組合而成，自變量取定一個常量后，代入函數可以計算出該函數的函數值，并且每個函數的自變量都有一定的定義域。命題公式的定義與數學上的函數十分相似，命題公式有命題變元加上命題聯結詞構成，命題變元取定某個命題常元代入命題公式即可得到一個公式的真值，每個命題公式都有一定的論語，即命題變元的取值范圍。將新的知識與以學過的知識類比，有利于學生更好的掌握。

命題邏輯與謂詞邏輯的類比。命題邏輯和謂詞邏輯的體系機構非常相似，都是先介紹公式的定義：命題公式和謂詞公式，再介紹公式的性質：永真蘊含公式、邏輯等價公式等，然后介紹公式的范式：命題邏輯中的析取范式、合取范式和謂詞邏輯中的前束范式，最后介紹推理過程。講解時從體系結構上類比，可以促進學生對知識結構的整體把握。

命題邏輯與集合論的類比。命題邏輯和集合論中的很多內容可以類比。例如，(1)命題聯結詞否定(not;)、合取(∧)、析取(∨)與集合運算補集(ˉ)、交集(∩)、并集(∪)的定義類比；(2)命題公式的邏輯等價公式與集合運算的性質類比，如命題邏輯的DeMorgan公式：

形式上非常相似，在課堂講學時，可以把這些相似的內容列成一張表格，讓學生對比著理解記憶；(3)在命題邏輯中每個命題公式都可以構造一個與之等價的主析取范式(由合取式的析取構成)，而在集合運算表達式中我們也可以構造類似的由集合的交、并、補運算構成的范式(由交集的并構成)。

圖與二元關系的類比。一個二元關系可以用關系圖和關系矩陣的方式來表示，圖論中圖本質上就是一個二元關系，表示了圖中各個頂點之間的關系，因此圖也可以用矩陣來表示(鄰接矩陣)。這樣圖論中關于路徑和循環的概念和性質也可以反過來解釋二元關系合成時所碰到的循環重復的問題。

二元關系性質的類比。二元關系有五種性質：自反性、反自反性、對稱性、反對稱性和傳遞性。除了給出各個性質在關系圖和關系矩陣中的特點以外，筆者還給出了兩方面的類比。第一，滿足某種性質的二元關系R和S，如果經過某種運算(交、并、補運算)后還是否滿足原來的關系，這個對比可以形成一個表格(如表1)讓學生一一判斷。把二元關系的性質理解透了，后面再理解二元關系閉包的概念和性質就簡單多了。

第二，除了給出各個性質的定義外，再根據二元關系的運算給出各個性質判斷的充分必要條件，如：設R為集合A上的二元關系，則：

其中： 表示空關系， 表示恒等關系，讓學生在證明各個充分必要條件的同時，更深刻地理解判斷性質的方法。

二元關系閉包的類比。二元關系的閉包是學生覺得比較難學理解的內容，閉包分成三種：自反閉包、對稱閉包和傳遞閉包，首先可以將它們的定義作一個類比，三者定義都是包含原關系的，滿足某種性質(自反、對稱、傳遞)的最小的二元關系。其次，對于二元關系閉包的求法作類比，用集合法、關系矩陣法和關系圖法三種方法對比著求一個關系的三個閉包，加深學生對閉包概念的理解。

2.5舉例趣味問題和小故事

離散數學是一門“離散”的數學課，其中有很多的公理、定理、公式，而這些定理往往建立在一大堆的數學概念之上。如果每次講課時老師總是先給基本概念，然后給出定理、公式，那么整個課堂就會非常枯燥乏味，這也是很多學生覺得離散數學難學的一個重要原因。在講課過程中適當插入一些趣味問題和小故事，這樣可以讓學生了解所學知識的實際應用背景，提高學習興趣。尤其在對離散數學的各部分作概述介紹時，多舉例子有助于學生從整體上了解這部分知識的結構和應用，這樣避免出現學生學過的東西卻不知道如何使用、在什么地方使用的尷尬局面。筆者就經常在介紹一個知識點之前，先舉一些實例來說明這些知識的應用背景或發展歷史，從而達到激發學習興趣、提高教學效果的目的。例如：

在介紹離散數學概述時，列舉在計算機科學、生物學、經濟學等學科中的離散現象來解釋離散數學發展的重要性。

在介紹數理邏輯時，首先拋出一個觀點：學習數理邏輯就相當于做一次大腦體操，因為大腦中所有的推理過程和數理邏輯所研究的推理過程是等價的。并且用“蘇格拉底論證”這個例子作為貫穿整個數理邏輯部分的線索，在命題邏輯中提出“蘇格拉底論證”，但命題符號化結果不符合實際情況；在謂詞邏輯中用謂詞對其進行符號化；在謂詞推理中證明“論證”的正確性。

在集合論中，用集合的方法給出自然數的定義，以此來說明集合論在整個數學學科中的重要性。

在圖論中，用哥尼斯堡七橋問題給出歐拉圖的概念；用哈密爾頓環游世界的問題給出哈密爾頓圖的概念；用三個居民點向三口水井挖水溝，且水溝不能交叉的問題來解釋平面圖的概念；用“人雞狗米”問題來解釋如何用對實際問題建立圖論模型等等。這些有趣的問題正是來源于生活，貼近于生活，學生對這類問題總是樂于去思考，找出解決問題的方法。

3結束語

本文分析了離散數學課程的特點和目前教學中的一些難點，并根據筆者自身的教學經驗，對如何提高離散數學課程教學質量進行了一些有益的探索。總的來說，要教好離散數學這門課，需要任課教師掌握教學規律，并且合理組織教學的各個環節，激發學生學習興趣，調動學生積極性，啟發學生思維。同時教師也要在教學實踐中不斷思索探討，且要經常交流，吸取其他老師好的教學經驗，從而改進自己的教學效果，提高自己的教學質量。

參考文獻：

[1] 左孝凌等. 離散數學[M]. 上海科學技術文獻出版社，2002.

[2] 方世昌. 離散數學[M]. 西安電子科技大學出版社，1996.

[3] 楊文杰等. 類比方法在離散數學教學中的運用[J]. 遼寧工學院學報，2006，(8):135-138.

[4] 周小燕等. 對提高離散數學教學質量的探討[J]. 浙江科技學院學報，2007，(19):156-158.