頻域變換的引入

摘要：數字信號的頻域變換一直是教學中的難點，原因在于缺少必要的引入。本文給出了頻域變換的引入方法，從學生熟知的笛卡爾坐標開始，經過以圖示的方式給出的信號的合成與分解，逐步將學生引入到頻域變換的公式、定理和性質上。實踐證明，該引入方法符合學生的認知規律，顯著提高了教學效果。

關鍵詞：頻域變換；限失真信源編碼；信息論與編碼理論；信息安全

中圖分類號：G642 文獻標識碼：B

1引言

數字信號的頻域變換(或者叫做時頻變換)，即時域數據與頻域數據之間的相互轉換，在信息安全專業的“信息論與編碼”，計算機專業的“數字信號處理”、“數字圖像處理”等課程中都涉及到了。這個概念是信息處理理論的基礎概念，透徹理解該概念對于這些專業的學生，尤其是從事音頻、視頻、圖像等多媒體數據處理的研究生來講至關重要。

然而從作者求學的切身經歷以及多年的教學經驗，我們感到“頻域變換”這個概念很難理解，學生掌握起來有一定困難。只有找到一個合適的切入點，將此概念與學生熟悉的知識聯系起來，才能深入淺出，讓學生輕松掌握。

2現有方法及其問題

現有講解方法在介紹了時域離散信號、時域離散系統等概念之后，就開始講頻域變換。頻域變換有很多種，一般從Z變換或者離散付里葉變換(Discrete Fourier Transform，DFT)講起，講解方法如下(以DFT為例)：

設x(n)是一個長度為N的有限長序列，則定義x(n)的N點離散付里葉變換為

1) 理論性過強。無論是講DFT的定義，還是DFT的性質、采樣等內容，基本上是一個公式接著一個公式，而且公式還都比較復雜，缺少對公式必要的解釋。這使得很多學生失去了學習興趣，“看不懂”是學生的普遍反映。

2) 缺少必要的引入。一開始就是DFT的定義，那么這個定義是怎么來的呢？為什么會出現這樣一個定義呢？公式中各個變量的作用是什么？有了這個公式有什么好處呢？它都在哪些地方發揮作用呢？等等一系列的問題都沒有答案。而實際上，知道一個概念的來龍去脈對于理解該概念是大有好處的。

3頻域變換的引入

由于現有的頻域變換講解方法存在一定的問題，因此有必要研究新的講解方法，尤其是引入方法。從學生熟知的內容開始，先讓學生有感性認識，然后逐步過渡到公式、定理和性質上，這樣才是真正的深入淺出。作者在多年的教學過程中，總結了一套頻域變換的引入方法，其過程是“笛卡兒坐標#61664;信號的合成與分解#61664;各種常用變換的公式、定理和性質”。

3.1笛卡爾坐標

笛卡兒坐標，這是一個在初中就學過的概念，任何一個學生對它都不會感到陌生。在這個簡單概念中就蘊含了頻域變換的基本特點。如圖1所示，講解時按如下步驟進行：

1) 坐標中的那個小黑點就是空域數據，之所以稱為空域數據，是因為它是空間中的一個點。在信號處理領域時間和空間不嚴格區分，因此空域(空間域)數據和時域(時間域)數據兩個名詞經?；煊谩?/p>

2) x軸和y軸說白了就是空間中的兩個向量，在頻域變換中把它們叫做“基”，直觀上這兩個基互相垂直，頻域變換中“垂直”叫做正交，因此x軸和y軸就組成了一組正交基。

3) 空間中的小黑點在x軸上的坐標為1，在y軸上的坐標為2，因此它的坐標為(1，2)，這段話用頻域變換的語言描述就是空域數據在基x上的系數為1，在基y上的系數為2，因此(1，2)就是頻域數據。

圖1笛卡爾坐標中的時頻變換

這樣，通過笛卡爾坐標這樣一個簡單的例子，使學生對頻域變換中的空域(時域)、頻域、基、正交、系數等概念有了初步的感性認識。

3.2信號的合成與分解

雖然學生已經有了對頻域變換的初步認識，但這種認識建立在笛卡爾坐標之上，離信號處理領域有一定距離，如果此時直接開始講各種常用變換的公式、定理和性質，學生難以將兩者直接聯系起來，會破壞學生剛剛建立起來的概念和興趣，因此我們以圖示的方式描述信號的合成與分解，作為頻域變換的第二個引入。如圖2所示，講解時按如下步驟進行：

1)(a)~(d)表示的是四種信號(時域數據)，橫軸表示的是時間，縱軸表示的是信號的幅度(或者叫做強度)。

2)(a)表示的是一個幅度不隨時間發生變化的信號，它的強度是5，像這樣的幅度不隨時間發生變化的信號叫做直流信號。

3)(b)表示的是信號5sin(x)，(c)表示的信號是0.5sin(6x)，這兩個信號相比較來說：

#61548;(b)變化的慢，是低頻信號；(c)變化的快，是高頻信號。

#61548;(b)的幅度大(為5)，表示該信號能量大；(c)的幅度小(為0.5)，表示該信號能量小。

4)(d)是將(a)、(b)、(c)三個信號相加之后的信號，叫做(a)、(b)、(c)的合成信號，可以看到該信號的大體趨勢與(b)信號相同，但是在細節上又不是很平滑，這是由(c)信號造成的，因此我們說低頻分量表示的是信號的主體，而高頻分量表示的是信號的細節。

5) 信號的合成講完了，反過來考慮信號的分解，(d)信號可以被分解為5、5sin(x)、0.5sin(6x)三個信號，即它可以表示為5+5sin(x)+0.5sin(6x)，這其實就是一個頻域變換公式。其中的sin(x)和sin(6x)是一組正交基，之所以兩者正交，是因為兩者的內積為0，內積為0在笛卡爾坐標中的直觀幾何意義就是互相垂直。5sin(x)中的5是基sin(x)的系數，0.5sin(6x)中的0.5是基sin(6x)的系數。因此如(e)所示，(d)信號對應的頻域數據就是(5，5，0.5)，其中第一個5是直流分量。

6) 總結上述過程可以看到，所謂的頻域變換，需要先確定一組正交基，然后將信號用這組正交基表示出來，直流分量和基的系數放在一起就是頻域數據。選擇的正交基不同，就產生了不同的頻域變換。通常，由時域到頻域的變換叫做頻域變換，由頻域到時域的變換叫做逆頻域變換。

講到這里，學生已經對信號的頻域變換有了一個定性的基本認識，進一步了解了強度、直流、交流、高頻、低頻、能量、正交、變換、逆變換等概念，在此基礎上就可以定量地講解公式、定理和性質了。

4在限失真信源編碼中的應用

限失真信源編碼是“信息論和編碼理論”中一個非常重要的內容，又叫做有損壓縮，它指的是通過對信號進行編碼來壓縮信號的數據量，這種壓縮會引起信號一定程度的失真，但是這種失真被控制在一定的范圍之內。限失真信源編碼應用范圍非常廣泛，尤其在多媒體編碼領域，像常見的JPEG、MPEG等都屬于限失真信源編碼。有了前面的兩個引入，再講限失真信源編碼原理就比較容易了，如圖3所示。

圖3限失真信源編碼

接著“信號的合成與分解”中的信號(d)，該信號經過頻域變換之后的數據為(5，5，0.5)，其中的0.5是高頻分量的系數，前面已經講過，高頻分量僅影響信號的細節，因此可以將高頻分量去掉而不影響信號的大體趨勢，對應在這三個系數上就是保留前兩個系數，丟棄高頻系數0.5，這樣(d)這樣一個比較復雜的信號就被編碼成了兩個實數(5，5)。

由(5，5)經過逆變換得到被還原后的信號，可以看到被還原后的信號和編碼之前的(d)信號大體趨勢相同，但是被還原后的信號舍棄了細節。兩者不同，說明編碼過程有失真，但這種失真僅表現在細節上。

原理講完之后，我們還講了該原理在JPEG中的應用。數碼相機拍攝的照片一般都是“.jpg”格式，該后綴表示采用了JPEG壓縮標準來壓縮照片的數據量。JPEG的基本原理與圖3所示的過程基本相同，它采用的頻域變換為離散余弦變換，根據人眼視覺特點舍棄頻域系數中人眼感覺不到的系數，被保留下來的系數保存成“.jpg”文件，當我們看照片的時候，照片瀏覽器對“.jpg”文件進行譯碼，顯示被還原后的信號。不過此時的信號與原始信號相比，質量已經降低了，不過人眼感覺不到這種差別。

5結束語

本文中提到的頻域變換的引入是作者結合自己的科研經驗，在教學過程中不斷總結最終設計出來的。該引入一經在課堂上講解，立刻引起了學生的興趣，大家進行了熱烈的討論，并促使學生主動鉆研課程內容，收到了很好的教學效果。

參考文獻

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[2] 姜楠. 中美“信息論”課程教學的比較和啟示[J]. 計算機教育，2008，(13):120-122，117.