一道題，內含三個０．６１８
2008-12-31 00:00:00陳水英
物理教學探討 2008年19期
某奧賽資料書上有這樣一道題目：
設有一個半徑為R的金屬球，帶有電荷Q，距球心O為x(x＞R)的地方再放置一個點電荷Q，如圖1所示。金屬球與點電荷帶有同種電荷(例如都是正電荷)，則這時點電荷與金屬球上電荷之間的相互作用力為多少?金屬球與點電荷相距多遠，斥力才能轉變為吸引力?
分析 由于點電荷的存在，金屬球的表面會出現感應電荷，我們可以用“鏡像電荷”來“替換”導體表面的感應電荷，并仍保持導體表面和以外空間的電場不變。用假想點電荷來等效地代替導體邊界面上的面電荷分布，然后用空間點電荷和等效點電荷迭加給出空間電勢分布。假設鏡像電荷為Q′，根據對稱性，Q′必然位于兩個球心的連線上的某一點。由于金屬球面是等勢面，對等勢面有貢獻的等效電荷Q，必位于球心，如圖2所示。不在球心的各電荷對球形等勢面的貢獻之和必須相互抵消(對球面上的每一點都成立)，應有：Q′ r′+Qr=0(1)
即Q′(R2+x′2-2Rx′cosθ)12+Q(R2+x2-2Rxcosθ)12=0。
上式對球面上任一點都成立，即相當于對任意θ都成立，利用這個關系，可解得：
xx′=R2(2)
Q′=-QRx(3)
為保持金屬球的總電量為Q，則在金屬球心處的等效電荷：
Qc=Q+QR/x=Q(1+R/x)(4)
這樣，我們就把點電荷Q與帶電金屬球(包括感應電荷)的相互作用問題，轉變成一條直線上的三個點電荷Qc、Q以及Q′的相互作用問題。金屬球與點電荷的作用力，實際上就是點電荷Q與等效電荷Qc及像電荷Q′的作用力的代數和。
Q與Qc的相互作用力是斥力，根據庫侖定律F斥=14πε0QQcx2(5)
Q與Q′的相互作用力是吸引力，即：
F吸=14πε0QQ′（x-x′)2。(6)
以斥力的方向為正，則合力：
F=Q4πε0｛Qcx2+Q′(x-x′)2｝，
整理得：
F=Q24πε0｛x+Rx3-xR(x2-R2)2｝。(7)
我們可以看出，作用力的大小取決于點電荷Q與金屬球的距離。為了進一步了解作用力F(x)隨點電荷與金屬球的距離x的變化關系，還可以利用計算機輔助畫出F(x）-x變化曲線，如圖3所示。
從圖3可以看出，當距離很遠時，相互排斥的作用力趨于零。當距離逐漸減小時，感應的影響逐漸加強，作用力隨距離的變化就復雜起來。約在x=x0處斥力達到最大值。進一步減小距離時，斥力竟會下降。再連續減小距離時斥力竟下降到零并轉化為吸引力。我們最關心的一點，當然是斥力和吸引力的分界點p的坐標。為便于數學處理，令x=tR，利用P點的作用力為0，可得：
t5-2t3-2t2+t+1=0(8)
即（t3+t2-1)(t2-t-1)=0。
解出(8)，可得有實際意義的唯一實根為1．618。即當點電荷Q離金屬球面的距離為0．618R時，作用力為零，距離大于0.618R時為斥力，小于0．618R時為吸引力。
發現這樣一個特別的分割點之后，我們非常驚奇，不禁要追問，當點電荷Q離金屬球面的距離為0．618R時，鏡像電荷的位置和電量為多少?下面我們繼續討論：
根據(2)式，有：
x′=R2x=R2R+0.618R
=0.618R。
即鏡像電荷Q′離金屬球心的距離與點電荷金屬球面的距離相等，都是金屬半徑的0.618倍(這時鏡像電荷與源電荷的距離正好是球的半徑R)。
根據(3)式，有：
-Q′=Q#8226;Rx=QR1.618R
=0.618Q。
即鏡像電荷是源電荷電量的0．618倍。
一個靜電學題目的三個答案，都與黃金分割律的0．618直接聯系起來。大家都知道0．618在單變量函數進行優選的科學實驗中和科學藝術中都是重要的判據。這樣，不但這個題目的計算結果因三次出現0．618而容易被記住，而且還增加了這個題日的審美情趣。
(欄目編輯羅琬華)
