“圓的周長”教學(xué)實(shí)錄與評析

教學(xué)過程：

一、問題引入

課件出示：

師：這是一個(gè)正方形，請你們用手在空中描出它的周長。(板書：周長)

師：它的邊長是a，周長是多少?

生1：4a。

師：由此發(fā)現(xiàn)，正方形的周長是邊長的幾倍?

生2：正方形的周長是邊長的4倍。

課件出示：

師：正方形中有一個(gè)圓，想一想，它與正方形有什么關(guān)系?

生3：它是正方形中最大的一個(gè)圓。

生4：圓的直徑等于正方形的邊長。

師：你們抓住了兩個(gè)圖形之間的聯(lián)系，說得好!那么，你能用手在空中把圓的周長描出來嗎?(板書：圓的)

師：說一說，什么叫做圓的周長?

生：圓一周的長度叫做圓的周長。

師：下面，我們把圓的周長與正方形的周長進(jìn)行比較，你發(fā)現(xiàn)了什么?

生5：正方形的周長是直的，可以直接測量；而圓的周長是彎曲的，不可以直接測量。

生6：在這個(gè)圖形中，圓的周長要比正方形的周長小。

生7(受生2的啟發(fā))：圓的周長不夠邊長的4倍。

師：剛才我們知道，正方形的邊長等于圓的直徑，想想生7的觀點(diǎn)還可以怎么說?

生：圓的周長不夠直徑的4倍。

師：了不起!剛才大家通過比較和邏輯推理得出圓的周長與直徑之間的關(guān)系，即圓的周長不夠直徑的4倍，那么大約是幾倍呢?

生8：2倍。

生9：絕對不是2倍!因?yàn)榘胫苁侵睆降?倍多，兩個(gè)半周是圓的一周，也就是直徑的2倍多!

師：有道理!那么超過2倍，又不夠4倍，很可能是幾倍?

生10：超過2倍，但小于3倍。

生11：超過3倍，但小于4倍。

生12：也可能正好是3倍!

師：猜得好!三種答案，到底哪種更準(zhǔn)確呢?請看投影——多媒體把圓的周長平均分成4條圓弧(電腦閃爍，如下圖)。想一想，一條圓弧大約是半徑的幾倍?

生13：一倍多。

師：大約多多少？(課件演示，連出一條線段，成了三角形的斜邊，如下圖)想一想，圓弧、斜邊、半徑的大小怎樣?

生14：圓弧最大，半徑最小。

生15：斜邊是半徑的一倍多，圓弧是斜邊的一倍多，所以圓弧完全超過半徑的一倍半。

師：你的推理非常符合邏輯!那么，請你們算一算，4條圓弧即一個(gè)圓的周長大約是半徑的幾倍多?

生16：1.5×4，大約6倍多。

師：圓的周長是半徑的6倍多，換算成是直徑的幾倍多?

生17：6÷2，大約3倍多。

師：你真會(huì)思考!今天“圓的周長”的學(xué)習(xí)，你們已經(jīng)成功了一半!不過，這只是猜想，還需要驗(yàn)證!下面，我們就來驗(yàn)證這條規(guī)律是否正確!

二、探索驗(yàn)證

師：剛才你們說圓的周長是曲的，不可以直接測量。那么，怎么間接地測量呢?

生1：可以在直尺上滾一周。

生2：可以用繩子繞一周，再用直尺測量出繩子的長度。

師：拿出學(xué)具，選擇自己喜歡的方法，隨意測出一個(gè)學(xué)具圓的周長與直徑，然后填入下表。有困難的可以同桌合作，共同完成。

(學(xué)生興趣盎然，紛紛動(dòng)手測量起來)

生3：直徑3厘米，周長9.4厘米。

生4：直徑4厘米，周長12.6厘米。

生5：直徑5厘米，周長15.7厘米。

師：怎樣測出結(jié)果來的?

生6：我是在圓上繞繩，再把繩子拉直，測出是9.4厘米，所以圓的周長就是9.4厘米。

生7：我也是繞繩，但方法跟生6不完全相同。我是先把圓形紙片平均分成4份，只測出其中一條圓弧的長度，再乘以4就得到圓的周長。

師：挺有創(chuàng)造性!

生8：我將圓放在直尺上滾，圓不是后退，就是前進(jìn)，有點(diǎn)把握不住。

生9：我也是選擇滾動(dòng)的方法，不過是與同桌一起做的。他按住直尺，我滾動(dòng)圓片，很快就完成了。

師：你們看，這就是合作學(xué)習(xí)的力量!不是有句俗語“三個(gè)臭皮匠，頂上一個(gè)諸葛亮”嗎?所以，在學(xué)習(xí)上，我們要多合作、多互助!

師：分析測量的結(jié)果，總的來看，圓的周長是它直徑的幾倍多?

生10：3倍多一些。

師：剛才的猜想怎么樣?

生：正確!

師：既然猜想是正確的，那么我們就應(yīng)該把它作為科學(xué)的結(jié)論記在心里!同學(xué)們，在一千五百多年前，有一個(gè)人也像你們今天這樣，為得出這個(gè)結(jié)論而不懈地努力著!他是誰呢?請看大屏幕——

課件出示：早在一千五百多年以前，我國古代的數(shù)學(xué)家祖沖之就精密地計(jì)算出圓的周長與它直徑的倍數(shù)，即在3.1415926~3.1415927倍之間，這是當(dāng)時(shí)世界上算得最精確的數(shù)值——圓周率，比歐洲要早一千多年。

師：一千多年是一段何等漫長的時(shí)間啊!為了紀(jì)念他，科學(xué)家們把月球上的環(huán)形山命名為祖沖之山。看了這則歷史資料，難道你不想談點(diǎn)什么感受嗎?

生11：咱們中華民族太偉大了!

生12：我們?yōu)橛凶鏇_之這樣的科學(xué)家而感到自豪!

生13：我們也要發(fā)奮圖強(qiáng)，“為民族之崛起而學(xué)習(xí)”!

師：我相信這些都是你們的肺腑之言，讓我們帶著美好的愿望繼續(xù)學(xué)習(xí)“圓周率”!什么叫圓周率?請自學(xué)課本。

(學(xué)生自學(xué)課本，然后匯報(bào)交流)

生14：圓的周長是直徑的3倍多一點(diǎn)，這個(gè)倍數(shù)是固定的數(shù)，叫做圓周率。

生15：圓周率用字母n表示，是個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，通常取近似值為3.14。

生16：圓周率=圓的周長÷直徑。

師：你能根據(jù)“圓周率=圓的周長÷直徑”，得出求圓的周長的公式來嗎?

生17：圓的周長=圓周率×直徑。

師：用大寫字母C表示圓的周長，求圓周長的字母公式怎么寫?

生18：C=πd。

師：如果給出的是圓的半徑，求圓周長的字母公式又該怎么寫?

生19：C=π2r。

生20：當(dāng)數(shù)字與字母相乘時(shí)，應(yīng)該把數(shù)字寫在字母的前面，如C=2πr。

師：你們覺得用滾動(dòng)、繞繩、公式等方法求圓的周長，哪種方便?為什么?

生21：當(dāng)然是用公式方便嘍!

生22：用滾動(dòng)、繞繩的方法求圓的周長具有局限性!

生23：求圓形花壇的周長不好滾啊!(眾生大笑)

生24：轉(zhuǎn)動(dòng)的吊扇所形成的圓是空的，根本不能用繩子繞啊!

師：同學(xué)們講得非常好!看來，只有計(jì)算公式才具有高度的普遍性!這就是數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)用的價(jià)值啊!

三、鞏固深化

1.自學(xué)例1后提問：求“自行車輪滾動(dòng)一周的距離”，其實(shí)就是求什么?怎么求?

2.判斷正誤。

(1)圓的周長是它直徑的3.14倍。()

(2)大圓的圓周率大，小圓的圓周率小。()

(3)圓的周長是它半徑的2?仔倍。()

(4)圓周長的一半就是半圓的周長。()

小圓的半徑是大圓半徑的()／()；

小圓的周長是大圓周長的()／()。

師：為什么這兩題的結(jié)果相同呢?你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?

生1：小圓的直徑是大圓直徑的2／3，根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，分子、分母同時(shí)縮小2倍結(jié)果不變，即小圓半徑是大圓半徑的2／3。同樣，把分子、分母同時(shí)擴(kuò)大π倍結(jié)果也不變，即小圓周長是大圓周長的2／3。

生2：我發(fā)現(xiàn)小圓與大圓的半徑比、直徑比、周長比是相同的。

4.解決生活中的實(shí)際問題。

師：教學(xué)樓門前的圓柱形石柱，怎樣知道它橫截面的直徑長度?

生3：把樓板掀開，用尺去量。(眾生大笑)

生4：那樣做挺費(fèi)事，不太現(xiàn)實(shí)!

師：對呀!難道就沒有簡單的辦法，測量出石柱的直徑了嗎?今天，我們學(xué)習(xí)了什么內(nèi)容?

生5(豁然開朗)：圓的周長是它直徑的?仔倍，我們只要測出石柱橫截面的周長，再除以?仔就能得出它的直徑。

師：利用圓的周長與直徑的關(guān)系，可以幫助我們解決生活中的難題，這就是數(shù)學(xué)的魅力啊！

5.課件出示。(與課始相呼應(yīng))

設(shè)問：正方形的周長比圓的周長長多少?

(學(xué)生都能列式為4a-3.14a=0.86a)

四、課堂總結(jié)

師：同學(xué)們，今天學(xué)習(xí)了“圓的周長”，你有什么收獲?

……

課后評析：

“圓的周長”一課在設(shè)計(jì)時(shí)力求體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)：在探究圓的周長的過程中滲透了對數(shù)學(xué)思想方法的把握，及對數(shù)學(xué)特有的思維方式的感悟和對數(shù)學(xué)精神(理性精神與探究精神)的追求。

縱觀“圓的周長”教學(xué)過程，不難發(fā)現(xiàn)以下三大特色：

1.建構(gòu)基于經(jīng)驗(yàn)——在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中關(guān)注了學(xué)生的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)。

學(xué)習(xí)活動(dòng)是學(xué)生以自身已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ)的主動(dòng)建構(gòu)的過程。學(xué)生在新知識(shí)學(xué)習(xí)之前，已有自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)和經(jīng)驗(yàn)結(jié)構(gòu)，它們是學(xué)生新知獲得的“固著點(diǎn)”。上述教學(xué)圍繞“固著點(diǎn)”進(jìn)行一系列的思維操作——?dú)w納、演繹、抽象、概括，讓新舊知識(shí)相互作用，使經(jīng)驗(yàn)上升為數(shù)學(xué)知識(shí)，最終形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。本節(jié)課的問題引入是以學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的正方形有關(guān)知識(shí)為突破口，通過尋找“曲”與“直”之間的聯(lián)系，讓學(xué)生去探究，很巧妙地溝通了新舊知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，最大限度地挖掘了學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)。在課后練習(xí)時(shí)，關(guān)注學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)——“怎樣知道教學(xué)樓前石柱的橫截面直徑”，同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的價(jià)值性。

2.方法重于結(jié)論——在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中關(guān)注了數(shù)學(xué)思想方法的滲透。

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識(shí)的“靈魂”，它隱藏于知識(shí)的形成過程之中，不僅是數(shù)學(xué)活動(dòng)中的根本想法，是對數(shù)學(xué)內(nèi)在規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)，而且是數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法的高度概括總結(jié)。學(xué)生在探索活動(dòng)中建立數(shù)學(xué)思想，反過來數(shù)學(xué)思想又幫助了學(xué)生理解與解決數(shù)學(xué)問題。

本節(jié)課中，讓學(xué)生主動(dòng)從事觀察、比較、實(shí)驗(yàn)、類比、猜測、驗(yàn)證等探索性、發(fā)現(xiàn)性的思維活動(dòng)，在自主探索過程中掌握知識(shí)、技能、數(shù)學(xué)思想和方法。其中，引入部分先以正方形為思考問題的切入點(diǎn)，讓學(xué)生在比較和類比中得出圓的周長比直徑的4倍少，使學(xué)生思考問題有了明確的方向。然后在正方形中構(gòu)造一個(gè)最大的圓，為學(xué)生進(jìn)一步理解圓的周長與直徑之間的關(guān)系搭好了“腳手架”。“先猜想，后驗(yàn)證”的科學(xué)研究的方法讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)、豐富了驗(yàn)證的方法，學(xué)生不僅感悟到動(dòng)手操作(實(shí)驗(yàn))可以驗(yàn)證結(jié)論的正確性和合理性，邏輯推理也不失為一種更科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆椒ǎw現(xiàn)了對數(shù)學(xué)特有思維方式的感悟與對數(shù)學(xué)精神的追求。

可以說，數(shù)學(xué)的理性精神(對“公理化思想”的信奉)與數(shù)學(xué)的探究精神(好奇心為基礎(chǔ)，對理性的不懈追求)是支撐著數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)進(jìn)而研究世界的動(dòng)力，也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究世界的最原始、最永恒、最有效的動(dòng)力。

3.思維源于挑戰(zhàn)——在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中關(guān)注思維的激活。

新課標(biāo)在“數(shù)學(xué)思考”這一目標(biāo)中明確指出：“在參與觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、證明、綜合實(shí)踐等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法；學(xué)會(huì)獨(dú)立思考，體會(huì)數(shù)學(xué)的基本思想與思維方式。”小學(xué)階段主要的思維方式有比較、類比、抽象、概括，猜想——驗(yàn)證等，其中“概括”是數(shù)學(xué)思維方式的核心。要使數(shù)學(xué)教學(xué)成為思維活動(dòng)的教學(xué)，就要為這種活動(dòng)創(chuàng)造良好的條件。思維能力的培養(yǎng)主要靠啟迪，而不是靠傳授。

從上述教學(xué)中可以看出，在探究知識(shí)的過程中，教師的多次追問實(shí)際上就是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立思考。學(xué)生進(jìn)行了大膽的猜測后，教師引導(dǎo)學(xué)生用邏輯推理的方法，把一個(gè)圓周等分成4條弧，1條弧比1條半徑的1.5倍還多一些，換算成4條弧比1條半徑的6(1.5×4)倍還多一些，進(jìn)而換算成1個(gè)圓的周長比1條直徑的3倍多一些。這個(gè)過程，環(huán)環(huán)緊扣，層層遞進(jìn)，不僅有趣味，而且充滿了數(shù)學(xué)味，還尊重、利用了學(xué)生的差異，使學(xué)生在互動(dòng)交流中，不斷豐富自己思考問題的方式和角度。在這一系列的活動(dòng)中，學(xué)生的思維始終處于被激活、被挑戰(zhàn)的狀態(tài)。

另外，教學(xué)中，教師讓學(xué)生體驗(yàn)求圓的周長用公式法比滾動(dòng)法、繞繩法簡便，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思。反思是一種內(nèi)省行為，是對認(rèn)識(shí)的再認(rèn)識(shí)，是對感悟的再體驗(yàn)。

總之，本節(jié)課關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，直面學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，立足于學(xué)生未來的發(fā)展，注重知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思考，很好地詮釋了數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)。