小學數學“解決問題”教學例談

課改前，關于“應用題”教學議論很多：

——中國學生解答應用題的能力很強，為什么要進行改革?

——應用題教學過于形式化、技巧化，嚴重脫離學生的生活實際；

——應用題教學的訓練單調枯燥，嚴重挫傷了學生的學習熱情；

——過分強調用算術方法解題，忽視了代數思想方法的培養；

……

課改后，關于“解決問題”教學仍然議論很多：

——學生的解題能力(審題能力和列式能力)嚴重下降；

——解決問題的列式步驟雖然減少了，但題目的難度卻增加了很多；

——缺少專門的例題教學，影響了學生解題遷移能力的培養；

——“解題策略多樣化”降低了課堂教學的效率；

……

如何應對“解決問題”教學改革中的問題?本文試從《義務教育數學課程標準(實驗稿)》(以下簡稱《課程標準》)中的相關目標出發，聯系當前解決問題教學中存在的有關問題，提出若干針對性策略。

長期以來，應用題在小學數學中一直占據著重要的地位。課程改革以后，《課程標準》取消了應用題單元以及“應用題”的專門稱呼，取而代之的是“解決問題”。例如，《課程標準》中“課程目標”之“解決問題”目標為(和“知識與技能”、“數學思考”、“情感與態度”目標并列)：

·初步學會從數學的角度提出問題、理解問題，并能綜合運用所學的知識和技能解決問題，發展應用意識。

·形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力與創新精神。

·學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結果。

·初步形成評價與反思的意識。

由于《課程標準》所做的如上調整，給一線數學教師帶來了一些觀念與行為上的困惑：過去“應用題”的體系如何改革?應保留哪些?增加哪些?“解決問題”與“應用題”兩者之間到底是什么關系?“解決問題”如何去教?……由于解決問題能力的培養是數學教育的重要目標，解決問題活動對促進學生思維能力以及培養學生動手實踐與創新意識都有著極其重要的作用，因此，我們必須進行深入研究。下面，筆者通過幾個教學案例，提出解決問題教學中應注意的幾個要點。

一、重視四則運算意義的教學

《課程標準》的一個重大變化是強調小學應用問題教學與運算教學緊密結合。一般的課程標準實驗教材編寫中不再專門設置“應用題”教學單元，而是把“解決問題”作為四大課程目標之一。把應用問題和運算意義教學相結合，不僅有利于學生進一步理解運算意義與應用問題的數學本質，而且有利于學生選擇適當的解決問題的方法，從而提高學生解決實際問題的能力。

四則運算是小學數學最基礎的知識，它的意義是解決問題的必要基礎。解決簡單實際問題的運算不外乎是加、減、乘、除，如果學生對這些運算的意義都很清楚，那么解決實際問題就有了基礎。因此，在低年級教學每一種運算的初步認識時，教師要通過具體實物或學具操作，使學生了解運算的意義，這是教學重點和關鍵所在。在小學階段，一般對加法的定義是“把兩個數合并成一個數的運算”；減法的定義是“已知兩個加數的和與其中一個加數，求另一個加數的運算”；乘法的定義是“求相同加數的和的簡便運算”；除法的定義是“已知兩個因數的積與其中一個因數，求另一個因數的運算”。這些運算定義雖然在表述上已經十分直觀，但對低年級的小學生來說，仍是十分抽象的。因此，在教學四則運算的意義時，要結合具體情境，逐步抽象出運算意義。

案例：“認識乘法”(蘇教版課程標準實驗教材二年級上冊)

教學片斷1——初次建立乘法意義

師(出示圖片，如下)：一共有多少臺電腦?你是怎么知道的?

(師板書：2+2+2+2=8)

師：求4個2是多少，還可用一種新的運算方法——乘法計算。

師：乘法像我們以前學過的加法和減法一樣，也有表示乘法的符號。乘法算式各部分都有自己的名稱，請大家看課本后先互相說一說，再說給全班同學聽。

(生自學課本，討論交流)

師結合學生的匯報交流形成板書，如下：

4 ×2= 8

或 2 ×4= 8

乘數 ?搖乘號?搖乘數?搖 積

師(電腦圖出示8個2)：這間電腦教室有多少臺電腦呢?是幾個幾?用加法和乘法計算，你會列式嗎?

生4：是8個2，加法是2+2+2+2+2+2+2+2=16，乘法是2×8=16或8×2=16。

師(電腦圖變成100個2)：現在有多少個2？用加法怎樣列式?

生：2+2+2+2+2……

(有的學生漸漸地不說了，有的叫了起來，還有的學生憋住氣在繼續說，臉漲得通紅，終于停了下來)

師：求100個2用加法算，算式寫起來怎樣?

生5：要寫很長時間，寫很長的算式，不夠寫。

生6：太麻煩了。

生7：可以用我們剛學的乘法，寫成100×2或2×100，就快多了!

……

教學片斷2——培養學生的乘法意識

師：在我們日常生活中經常會碰到這種可以用乘法計算的問題，請大家先想一想，然后說給大家聽一聽。

生■：我媽媽給我買了3袋鉛筆，每袋都是4枝，用乘法計算就是4×3=12或3×4=12。

生■：我家有5個人，吃飯時我拿筷子，拿5個2枝，用乘法計算是2×5=10或5×2=10。

生■：我們教室里有3排日光燈，每排3根，用乘法計算是3×3=9。

生■：我們每個人都有兩只手，每只手有5個手指，一共有10個手指，用乘法計算是2×5=10或5×2=10。

生■：我們還有兩只腳，手指和腳趾一共有20個，用乘法計算是4×5=20或5×4=20。

……

上述教學片斷1中，為幫助學生正確建立乘法的實際含義，通過解決“一共有多少臺電腦”這個實際問題，在數數、連加等方法后，自然引出乘法，讓學生了解乘法產生的背景。運算概念的教學容易陷入枯燥灌輸的泥潭，只有賦予抽象概念以實際含義，并利用學生已有的知識和經驗，通過學生自學、討論、交流，形成“學習共同體”，才能使學生在理解運算意義的同時培養學習興趣與合作意識。教學中，讓學生在強烈反差中感知求幾個幾相加用乘法寫比較簡便。由于學生是初次認識乘法，再加上未系統學習乘法口訣，學生暫時不能體驗乘法計算的簡便。因此，教學時，通過創設對比強烈的情境，從“4個2”到“8個2”再到“100個2”，讓學生實際列式并數一數、寫一寫，使學生在具體的數和寫的過程中體會到——求幾個幾是多少有時用乘法寫算式比較簡便，為今后進一步感受學習乘法的必要性打下基礎。

教學片斷2，注重培養學生的乘法意識。有效的數學教學應著力培養學生的數學意識，讓學生初步學會運用數學的思維方式去觀察、分析現實社會，去解決日常生活和其他學科學習中的問題，增強應用數學的意識。乘法意識作為數學意識的一種，在學生初步認識乘法時就應該進行培養。教學中，結合乘法知識的學習，始終注意培養學生自覺溝通幾個幾的生活經驗和乘法的內在聯系，讓學生不斷聯系生活實際，用乘法的眼光去觀察生活現象，解決實際問題。尤其是課末，讓學生到生活中尋找乘法現象時，學生聯系生活實際，展開豐富想像，說出了許多有趣的乘法現象。在這樣的學習過程中，學生的乘法意識潛移默化地得到了培養，為提高學生運用乘法意義解決相關實際問題打下基礎。

過去，應用題教學中習慣把簡單應用題分成幾種類型，有的教師常常讓學生記憶這些解題思路，有的甚至還編出一些順口溜(如“比幾多，幾已知，用加法；幾不知，反而減”等)。這樣，類型越分越細，規律越背越多，學生負擔就越來越重。其實，學生解決問題的本質規律，是四則運算意義的應用。從某種意義上說，四則運算的意義本質上就是“分”與“合”。加法和乘法都是“合”，加法是不同數的合，乘法是相同數的合；減法與除法都是“分”，減法是從和中分出一部分求另一部分，除法是把總數分成相同的數。教學時，在學生利用生活經驗解決實際問題之后，教師可以有意識地讓學生體會上述四則運算意義的本質。

二、從生活實際出發，培養學生的應用意識

通過解決實際問題的教學，能有效地培養學生的應用意識。“認識到現實生活中蘊含著大量的數學信息，數學在現實世界中有著廣泛的應用；面對實際問題時，能主動嘗試著從數學的角度運用所學知識和方法尋求解決問題的策略；面對新的數學知識時，能主動地尋找其實際背景，并探索其應用價值。”(《課程標準》中關于“應用意識”的描述)“數學是現實的，學生從現實生活中學習數學，再把學到的數學應用到現實中去。”(弗賴登塔爾語)

在教學中，讓學生經歷“問題情境——建立模型——解釋、應用與拓展”的過程。從學生的數學現實出發，在學生熟悉的、有趣的問題情境中引導學生發現或提出數學問題，從而引發學生的學習動機和解決問題的積極心向，然后運用數學的語言、符號與思想方法建立數學模型，形成新的技能，再運用這種技能去解決相關的數學問題和生活問題，提高解決問題的能力，培養學生的應用意識。

數學課堂教學需要必要的“生活味”，需要讓學生在生活場景中理解數學、應用數學。我們常說，數學教學要讓學生知道數學知識的來龍去脈，不能只“燒中段”，應該“燒全魚”(引用曹培英先生的說法)。這里的魚頭，應該是產生數學問題的情境；魚中段應該是數學的符號變換，包括數量計算與邏輯演繹、經驗歸納以及空間聯想；魚尾應該是數學的應用。既然“數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法與理論，并進行廣泛應用的過程”，我們是否可以把數學與生活的關系做如下設定：生活問題→數學問題→數學模型→數學問題→生活問題。當然，這里需要特別指出的是第二個“數學問題”——在學生初步建立了數學模型之后，不應過早地讓學生去面對復雜的生活情境，過早地去解決具體的生活問題。應該先讓學生解決相應的數學問題，使學生在理解的基礎上逐步形成相應的技能，然后再讓學生運用相關知識和技能解決簡單的實際問題。

案例：“一位數乘兩位數”(蘇教版課程標準實驗教材二年級下冊)

(學習了一位數乘兩位數的計算方法后)

師：我們來看看生活中遇到的一些問題。(出示下圖)在這幅圖中，你得到了哪些信息?

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生■：飲料每箱有12瓶，一共有4箱。

生■：問一共有多少瓶飲料。

師：那么，請小朋友們先在本子上寫橫式，再用豎式算出來，好嗎?

(全體學生動筆練習，教師巡視，并個別輔導，在寫算式時說明，一般把兩位數寫在豎式的上面)

師：誰能夠來說說你是怎樣算的嗎?

生3：12×4=48(瓶)。

師：真好!

師：老師上次到商店里去買衣服，看到這樣的標價(如下)，你們感覺怎樣?

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生4：很便宜。

(教師和學生們都笑了)

師：老師現在想買3套這樣的衣服，一共需要付多少錢?能夠口算就口算，當然也可以列豎式計算。

(學生自主列豎式或口算解答，教師巡視輔導)

師：誰來說說你是怎樣算的?

生5：徐老師一共要花63元錢。

師：你是怎樣想的呢?

生5：我先算10+11=21(元)。

師：這個算式表示的是什么意思呀?

生5：表示一套衣服要花的錢數，然后計算21×3=63(元)，即買三套衣服一共要花63元錢。

師：還有其他不同的思考方法嗎?

生6：我是先算3條褲子所需的錢數，即10×3=30(元)，再算三件上衣所需的錢數，即11×3=33(元)，然后把褲子的錢和上衣的錢加起來，就得30+33=63(元)。

師：這兩種方法都不錯。

師：星期天，一個班級的小朋友們到游樂園去乘飛機(如下圖)，你們能夠從圖中知道哪些信息呢?

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生■：一共有3架飛機。

生8：每架飛機只能乘13人。

師：你是怎么知道的?

生8：上面寫著“限乘13人”，多乘了人就會出危險的。

(其他學生和教師都肯定地笑了)

生9：這個班級有41個小朋友去乘飛機。

生10：第35號小朋友在想：“這次我能上飛機嗎?”

生11：第40號小朋友也在想：“我什么時候能上飛機呢？”

師：大家可以先互相商量，再匯報。

(學生互相討論)

生12：35號小朋友這次能夠上飛機，但40號小朋友這次不能上飛機。

師：為什么呀?

生12：因為一共有3架飛機，每架飛機可以乘13人，那么總共可以乘39人，所以35號小朋友可以上飛機，但40號小朋友這次就不能上飛機了。

……

有效地收集和整理信息，是解決實際問題的重要前提。在上述教學片斷中，教師在教學新授內容之后，并沒有避諱計算教學會枯燥、教學氣氛會不熱烈這一難題，而是讓學生就教科書上的“練一練”進行計算，以此來強化學生所學的知識，然后才應用到生活實際中。練習題選擇的素材是學生經歷過的、感興趣的題目，如買礦泉水、購衣服、乘飛機等活動，充分體現了數學與生活的緊密聯系，使數學回歸生活，用課堂中解決數學問題的方法去解決生活中的問題。教師所選的題目體現了濃濃的生活味，具有很強的開放性，練習的過程充分體現了學生的自主性和教師的民主性。從上述教學片斷中我們也注意到，提高學生收集和整理信息的能力，要引導學生正確、有序地看圖，先整體了解圖中的情境內容，再看圖中的個別信息，同時要特別留意隱含在畫面中的一些數據信息(如上述教學乘飛機圖中的“限乘13人”)。在整理信息的基礎上，發現與提出問題，然后聯系生活實際和學習經驗，從數學的角度分析、取舍，從而達到解決問題的目的。

在處理生活問題與數學問題之間的關系時，要防止片面與極端。數學課堂教學需要必要的“生活味”，需要讓學生在生活場景中理解數學、應用數學。我們常說，數學教學要讓學生知道數學知識的來龍去脈，不能只“燒中段”，應該“燒全魚”。所以，“生活化”應與“數學化”結合起來。而且，生活化情境應是有選擇的，應是現實的、有意義的和富有挑戰性的，應有濃濃的“數學味”，應避免虛幻與幼稚化傾向。(待續)