小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中“反例”教學(xué)現(xiàn)象的價值分析

在數(shù)學(xué)教學(xué)情境中，經(jīng)常會遇到這樣的現(xiàn)象，學(xué)生不按照正例的思路常規(guī)地分析問題，而是從其他非常規(guī)途徑獲得解決問題的結(jié)果，或是在問題解決過程中提出不同的見解，產(chǎn)生不同的結(jié)果，這樣的現(xiàn)象往往出現(xiàn)在課堂教學(xué)解決問題的過程中，反映了學(xué)生“原生態(tài)”的思維狀態(tài)，是學(xué)生分析問題真實水平的寫照，因此，形成了一些典型教學(xué)事例，這樣的事例我們稱之為 “反例”。“反例”作為一種課堂教學(xué)現(xiàn)象存在，它具有正負(fù)方向交互發(fā)展的可能，尤其是教師對“反例”的藝術(shù)處理，可以有效地避免“反例”的負(fù)遷移功能，使“反例”的“錯位”現(xiàn)象與“反例”的“復(fù)位”藝術(shù)成為有機的整體，隱藏的教育價值在有效的教學(xué)組織形式中得以顯現(xiàn)。

一、 “反例”教學(xué)的實用價值

課例：分?jǐn)?shù)的意義、認(rèn)識單位”1”的教學(xué)過程.

(1)出示問：陰影部分表示幾分之幾？

（2）猜一猜：出示一個小三角形：

其它部分用紙蓋住，猜一猜陰影部分是幾分之幾？學(xué)生一開始猜1/4的人比較多，也有部分人說不確定。猜完后，教師出示圖形，陰影部分三角形占整體的1/9

(3)圈一圈：

用韋恩圖圈出它的1/2

也是表示1/2，圖中應(yīng)補充幾個△

價值分析：從以上的教學(xué)過程中看，學(xué)生在第二階段的猜一猜，是教師利用“反例”的價值，幫助學(xué)生建立單位“1”的概念。小學(xué)數(shù)學(xué)中的單位“1”是確定性與不確定性的對立統(tǒng)一，學(xué)生在學(xué)習(xí)的起始階段，對概念比較模糊，特別是自然數(shù)中確定數(shù)值的正遷移作用，會對他們產(chǎn)生副作用。因此，教師基于學(xué)生認(rèn)知特點，將兩個視覺上相同的三角形，放在不同的整體中，表示出幾分之幾，學(xué)生有的認(rèn)為是1/4，有的認(rèn)為不確定，這樣，教師就可以從部分認(rèn)識的“反例”中，揭示分?jǐn)?shù)的意義，看似不合理的誘導(dǎo)，卻潛藏著合理的因素，幫助學(xué)生深入認(rèn)識單位“1”的概念。第三階段的圈一圈是“反例”的二次應(yīng)用，目的是達到進一步鞏固的作用。

解決辦法：學(xué)生在第(2)階段猜一猜中出現(xiàn)填寫1/4的情況時，教師要充分利用好這個資源，讓學(xué)生盡量地說出為什么用1/4的思維過程，然后，讓另一部分回答“不確定”的人與之展開辯論，直到能說服對方為止。這樣，“反例”的實用性，在教學(xué)組織形式中，利益實現(xiàn)了最大化。

二、 “反例”教學(xué)的潛在價值

課例：教學(xué)“用字母表示數(shù)”。教師安排的第一個活動是讓學(xué)生擺小棒，具體要求是：擺一個三角形用3根小棒。增加1個三角形后，共用小棒的根數(shù)是；增加2個三角形后，共用小棒的根數(shù)是 ；增加3個三角形后，共用小棒的根數(shù)是 ……

在反饋交流時，一個學(xué)生給出了下面的擺法和算式：

價值分析：學(xué)生的想法是出乎教師意料之外的，然而，出現(xiàn)這一情況的原因有三點。

1、教師要求不明確。教師安排第一個活動的意圖是一個三角形用三根小棒，增加一個三角形，共用小棒的根數(shù)是3+3×1，增加兩個三角形，共用小棒的根數(shù)是3+3×2，增加n個三角形，共用小棒的根數(shù)是3+3×n。然而，學(xué)生對要求的理解是，擺第一個三角形用三根小棒，增加的三角形不一定用三根小棒搭成，也可以用兩根小棒搭成（上圖），這種做法與教師的教學(xué)預(yù)設(shè)背道而馳，但是，與題目的具體要求不矛盾，合情合理。

2、學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。學(xué)生在童年時期，就經(jīng)歷過搭積木、擺圖形等游戲活動，在低年級階段，就能指出正方形、長方形、圓形、三角形等平面圖形，國標(biāo)本實驗教材為學(xué)生提供了多次實踐操作的學(xué)習(xí)機會，學(xué)生也具備了一定的實踐活動能力，在操作過程中的融合與變通能力有所增強。因此，有可能產(chǎn)生以上要求下的拼搭結(jié)果。

3、解決問題的方式。每個學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是不同的，對同一內(nèi)容的理解與掌握程度上也各不相同。教師安排的第一個活動，一般學(xué)生用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗解決問題會用三根小棒擺一個三角形，然后，一個一個接著擺下去；有的學(xué)生會求變、求異，用不同的方式來搭拼圖形。

解決辦法：這樣的形式會出現(xiàn)在具有良好思維品質(zhì)的學(xué)生群體中，所以，一定要認(rèn)真對待。首先，在情形合理的前提下，肯定學(xué)生思維的靈活性。然后，讓他們把自己所擺的圖形連貫起來觀察，是否有一定的規(guī)律，是否能總結(jié)出來；再觀察具有規(guī)律的一組圖形的擺法，寫出反映規(guī)律的一組算式。最后，還要比較兩種擺法哪一種更能揭示圖形所反映的規(guī)律，使問題解決回歸到揭示“用字母表示數(shù)”的主題上。再有，教師在安排活動前，先出示兩個三角形問：擺一個三角形用小棒的根數(shù)可以寫成算式？（3×1），兩個三角形小棒的根數(shù)可以寫成算式？（3×2）請同學(xué)們繼續(xù)擺下去，給擺成的三角形寫出對應(yīng)的算式，這樣可以避免意外情況的出現(xiàn)，同時引導(dǎo)學(xué)生從”反例”中獲得豐富的認(rèn)識。

三、 “反例”教學(xué)的生成價值

教學(xué)“圓的面積”時，教師讓學(xué)生用圓的學(xué)具，平均分成24份，然后剪開，拼成近似的長方形，通過長方形的面積，推導(dǎo)出圓的面積計算公式。其中一個學(xué)生提出，不用拼成長方形也可以推導(dǎo)出圓的面積公式。他是這樣做的，將圓平均分成24份，每一份就是一個近似的小三角形，（如圖）

價值分析：學(xué)生的解法完全出乎教師的意料，它的合理性甚至在教材編排的例題之上，實事求是地說，這樣的推導(dǎo)過程，教師在設(shè)計中是沒有預(yù)設(shè)的，學(xué)生的創(chuàng)造性思維應(yīng)該得到充分的肯定。

解決辦法：葉瀾教授在《重建課堂教學(xué)觀》中說，開發(fā)學(xué)生的“原始資源”，實現(xiàn)課堂教學(xué)過程中的資源生成，是課堂教學(xué)的“生長元”，通過網(wǎng)絡(luò)式的生生多元互動形成對“生長元”多解的“方案性資源”，是課堂教學(xué)的精髓所在。我針對課堂教學(xué)的“生長元”及時增加了一個比較過程，讓學(xué)生群體體會到這個事例的重要價值。

四、 “反例”教學(xué)的“剩余價值“

課例：“觀察物體”要回答的是兩個問題：（1）從哪面看這三個物體，看到的形狀完全相同？（2）從哪面看到的形狀不同？大部分學(xué)生回答：“從側(cè)面和上面看到的形狀完全相同，從正面看到的形狀完全不同。”只有少部分學(xué)生說：“從正面看到的形狀不是完全不同，因為下面一層都是由3個正方形橫排成的長方形，所以是不同，不是完全不同。”

價值分析：教材編寫者對所提問題，顯然進行了深入地思考，

從側(cè)面看到的形狀是

從上面看到的形狀是

從正面看到的形狀是

從側(cè)面與上面看到的是獨立圖形，從正面看到的是復(fù)合圖形。從上面、側(cè)面看到的三個獨立圖形完全相同，從正面看到三個復(fù)合圖形只能說是不同。

三年級兒童的認(rèn)知，以具體形象思維為主要形式，大部分學(xué)生的回答，就是從整體認(rèn)知的角度，觀察圖形的同與不同。而少部分學(xué)生的回答中，不僅看到了同還看到了異中有同，充分反映了學(xué)生思維的深刻性、靈活性。

解決辦法：這樣“少數(shù)人的聲音”正是教學(xué)中求之不得的，可以說是課堂教學(xué)“成功學(xué)習(xí)時間”在個體身上的集中體現(xiàn)。我把握好這樣的時機，適時對問題進行再研討，得到結(jié)論，既教會學(xué)生認(rèn)真觀察的方法，又體會數(shù)學(xué)思維的美妙，可謂一舉兩得。

多彩的世界，緣于豐富的物種，和諧的課堂，緣于豐富的個性。學(xué)生作為一個獨立的個體而存在，生活閱歷，學(xué)習(xí)經(jīng)驗的不同，形成了各自不同的思維方式。課堂是學(xué)生展示自我才華的舞臺，共性的認(rèn)識與獨特的見解，是和諧課堂的真實表現(xiàn)；“反例”作為一種課堂教學(xué)現(xiàn)象存在，具有一定的研究價值，我們在教學(xué)實踐中應(yīng)利用好”反例”，充分挖掘它的價值，為教學(xué)服務(wù)。