用空間向量破解空間幾何體中的動態問題

徐國平

如果我們把平面向量的基礎理論知識擴充到空間向量當中去解決空間幾何體中的某些動態問題，那么有時候會獲得較為理想的解題途徑.

經過教學實踐分析，空間幾何問題中的傳統解法有時候雖然在運算量方面有所弱化，但其對于思維量的要求還是比較高的(尤其是作圖能力的要求).如果我們能用空間向量解法去處理空間幾何體中的同類問題，很多時候雖然增加了運算量，但是可以明顯地感覺到思維能力要求降低了.從高考應試角度來講，反而更加有利于普通學生的理解與掌握，這正是所謂的“不同層次的學生學不同的數學”.通過對教材理念的對比發現，新課程增加“平面向量”這一部分內容，其實并不是為了降低高考要求，而是為部分學生的可持續發展作一個基礎性的鋪墊工作，這并沒有違背新一輪課改的理念，反而以另一種方式體現了向量的工具性作用.

文［1］與文［2］分別對2006年浙江高考理科卷第14題作了分析與解答，從處理過程來看，均顯得方法奇巧，思維層次深遽，但是筆者通過對這一道高考試題的再分析，發現還有更加簡單的解法.不過，解題思路來自于空間向量，本文嘗試從空間向量的角度對空間幾何體中的這一類動態問題作出一個比較系統的探討.

我們發現，對于空間幾何體中的“動態”的平行問題、垂直問題、空間角與空間距離等主要問題，如果能夠建立空間直角坐標系，借助空間向量進行處理，效果更加明顯.下面對空間幾何體中的動點問題、動線問題、動面問題以及動體問題分別作一個典型分析.

1、空間幾何體中的動點問題

例1 如圖1，在底面為菱形的四棱錐P-ABCD中，∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=2a，點E在PD上，且PE∶ED=2∶1.問在棱PC上是否存在一點F，使得BF∥平面AEC?試證明你的結論.

證明：如圖1，取BC中點H，根據題設條件可以證明：PA⊥平面ABCD，AH⊥AD，所以此時可以建立空間直角坐標系A-xyz，則A(0，0，0)，D(a,0,0),B(-a2,0,3a2),

C(a2,0,3a2),P(0,a,0)，

由于PE∶ED=2∶1，故根據定比分點公式得點E坐標為E(2a3,a3,0).

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”