淺析用判別式法求分式函數的值域的困惑及解決措施

張長雁

一、引入

判別式法是求分式函數值域的一種好的方法，但在具體的教學中不易操控，學生對判別式法的使用仍存在著不少的疑惑.教師如何進行判別式法的課堂教學，是一個值得思考的問題.

二、問題解答

形如分式函數y=f(x)=ax2+bx+cdx2+ex+f，如何用判別式法求其值域.因為函數的三要素中只要知道定義域和對應法則，就可以確定函數的值域.所以按函數的定義域分類.

1、當函數的定義域為實數集R時

例1 求函數y=x2-2x+1x2+x+1的值域.

解：由于x2+x+1=(x+12)2+34>0，所以函數的定義域是R.去分母：y(x2+x+1)=x2-2x+1,移項整理得(y-1)x2+(y+2)x+(y-1)=0.

(1)當y≠1時，由△≥0得0≤y≤4;

(2)當y=1時，x=0.

綜上所述知原函數的值域為［0，4］.

2、當函數的定義域不是實數集R時

例2 求函數y=x2-2x+1x2+x-2的值域.

解：由分母不為零知，函數的定義域

A={x∈R|x≠-2且x≠1}.

去分母：y(x2+x-2)=x2-2x+1,移項整理得(y-1)x2+(y+2)x+(2y+1)=0.

(1)當y≠1時，由△≥0得y2≥0輞∈R.

檢驗：△=0輞=0輝=1麬，∴y≠0.

(2)當y=1時，x=1麬，所以y≠1.

綜上所述知原函數的值域為{y∈R|y≠0且y≠1}.

3、布置練習

求函數y=x2-x+1x2-2x-3的值域.

學生的解答：原函數的定義域A={x|x≠-1且x≠3}.

由原方程y=x2-x+1x2-2x-3去分母、整理得y(x2-2x-3)=x2-x+1(*),

即(y-1)x2-(2y-1)x-3y-1=0.

(玦)當y=1時，x=-4麬，適合題意.

(玦i)當y≠1時，由△≥0輞≤3-218或y≥3+218.

三、學生的疑惑

疑惑1：例1中如何得知方程的判別式大于或等于零?為什么要討論(2)?怎樣由y=1得x=0?能否去掉(2)?

疑惑2：例2(1)中，為何要對“△=0”進行“檢驗”，而例1中卻沒有?

疑惑3：例2中檢驗時，應該將y=0代入哪一個方程中，求得x的值?

疑惑4：練習題中，如何檢驗△=0是否成立?

四、教學措施

(一)解釋疑惑1

教師：例1中函數的定義域為R，說明什么問題?

學生：對于任意的實數x，分式有意義.

教師：如何從等式的角度理解?

學生：對于任意的實數x,等式恒成立.

教師：去分母、整理后的等式是否為原等式的等價變形?

學生：是.

教師：從方程角度如何理解?(滲透方程思想)

學生：關于x的方程在實數范圍內有解.

教師：關于x的幾次方程?

學生：二次方程.

教師：一定是二次方程嗎?

學生：(學生思考、討論后回答)不一定，需分類討論.

教師：這樣例1的(1)步中一元二次方程在實數范圍內是否有解?

學生：有解，噢，所以△≥0.但不知道(2)的意思，如何由y=1時，得到x=0?

教師：由y=1代入到原方程y=x2-2x+1x2+x+1得x=0，x的值是否在原函數的定義域內?

學生：在.

教師：為什么?

學生：因為原函數的定義域是R，噢，y就可以取1了.第(2)步就不可缺少了.

(二)解釋疑惑2

學生：例2(1)中，為何要對“△=0”進行“檢驗”，而例1中卻沒有?

教師：例2中的每一步的變形過程是否等價?

學生：不是.因為y(x2+x-2)=x2-2x+1中x2+x-2可以為0，而原方程y=x2-2x+1x2+x-2中，分母不為0.

教師：那么，例1中的每一步的變形過程是否等價?

學生：是.

教師：為什么?

學生：因為例1中無論x取任何實數，分母都大于0.

教師：這就是說，例1中每一步都為等價變形，因此變形的過程中關于x的方程不會出現增根，就不必檢驗△=0了.但對于例2卻不是這樣的，由以上的分析知道，例2中的每一步的變形過程不是等價的，因此變形的過程中會出現增根，這樣，我們必須檢驗△=0是否成立?即檢驗使△=0的x的值是否滿足原函數的定義域，如例2中由“△=0輞=0輝=1麬”知道y=0必須舍去.

(三)解釋疑惑3

學生：按照老師您的說法，例2中檢驗時，應該將y=0代入哪一個方程中，求得x的值?

教師：當然是原方程了.

(四)解釋疑惑4

學生：由“△≥0輞≤3-218或y≥3+218”得“△=0”的條件是y=3-218或y=3+218”，但將y的值代入原方程中，不知如何計算?

(教師原以為，給學生布置練習題只要達到鞏固判別式法的目的就行，但實際檢驗“△=0”是否成立時，計算過程繁雜，運算量大.學生畏難不想作下去，從而產生“判別式法”不好的感覺，還需要做深入的探究.可喜的是此時已經形成了良好的課堂教學情景，抓住契機，師生共同討論解決的方案)

教師：；回想練習的求解過程，什么時候方程會產生增根?

學生：由原方程到整式方程(*)的這個去分母的過程，會產生增根.

教師：假若由y的值代入到原方程后，解得x=1或x=-3，說明y的值是否滿足題意?為什么?

學生：不滿足，應該將y的值舍去.因為x麬.

教師：但x=1或x=-3是否為整式方程(*)的解?

學生：是.

教師：也就是說，將y的值和使分母為0的x的值同時代入整式方程(*)中，若方程成立，則y的值應該舍去，因為y的值使得原方程產生了增根.若方程不成立，則說明由y的值肯定得不到x=1或x=-3，x的值一定在定義域A內，所以y的值滿足題意.比如：例2中將使“△=0”的“y=0”和使分母為0的“x=1”代入到整式方程：y(x2+x-2)=x2-2x+1,得0×0=0，方程成立.所以y=0舍去.按照這個方法去檢驗使“△=0”的y=3-218或y=3+218,就容易知道：當y=3-218且x=-1時，由y(x2-2x-3)=x2-x+1得3-218×［(-1)2-2×(-1)-3］=(-1)2-(-1)+1,即3-218×0=1顯然方程不成立，同理，當y=3-218且x=3時，方程仍然不成立，故y=3-218滿足題意，同理可得y=3+218也滿足題意.那么，綜合上述練習中(玦)和(玦i)知道，所求的函數的值域是什么?

學生：應該是(玦)和(玦i)兩種情況下，關于y的集合的并集.

即為{y|≤3-218或y≥3+218}∪{y∈R|y=1}.

教師：能不能化簡?(學生思考片刻后回答)

學生：能.

教師：化簡成怎樣的形式?

學生：因為3+218<3+258=1，所以函數的值域是{y|≤3-218或y≥3+218}.

五、反思

上述利用判別式法求函數的值域過程滲透了方程思想、等價轉化思想.我們不是要求學生對判別式法的機械模仿，而是培養學生的反思能力，更重要的是引導學生理解蘊涵在方法內的數學思想，尤其是在目前的新課程改革實踐中，更需要教師在課堂教學這一教學前沿陣地，以數學思想為指導，不斷地改進教法和學生的學法，著重培養學生的數學應用意識、探究意識和創新意識，全面提高學生的綜合數學素質.

參考文獻

［1］石保軍.用判別式法求分式函數的值域.中學數學教學參考，2004，(5).

［2］高東英.利用△法求函數值域應注意的問題.中學數學教學參考，2004，(7).

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”