一道聯考題的變式與拓廣

唐長林

筆者在研讀湖北省2008屆高三第二次聯考理科第20題時，頓悟出與之相關的一組變式與拓廣，為方便討論，現給出原題：

如圖1，線段AB過y軸上一點N(0,m),AB所在直線的斜率為k(k≠0)，兩端點A、B到y軸的距離之差為4k.

(1)求出以y軸為對稱軸，過A、O、B三點的拋物線方程；

(2)過拋物線的焦點F作動弦CD，過C、D兩點分別作拋物線的切線，設其交點為M，求點M的軌跡方程，并求出〧C?〧D擢〧M擢2的值.

問題的答案：(1)x2=4y;(2)點M的軌跡方程y=-1;〧C?〧D擢〧M擢2=-1(解答略).

由答案(2)中可發現點M顯然落在拋物線的準線上，于是可得到一個逆向性質：

變式一：過拋物線x2=4y的準線上任一點M作拋物線的兩條切線，則過兩切點C，D的連線段必通過拋物線的焦點F.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文?！?/p>