新課改背景下探究類比思維在中學數學中的價值

顧日新

類比是根據兩個對象或兩類事物的一些屬性相同或相似，猜想另一些屬性也相同或相似的思維方法.在數學研究(數學猜想、數學應用、數學知識創造等)或數學教育(數學學習、數學解題、數學教學等)中，類比可以說是無處不在.而隨著數學新課程改革的深入，對學生類比思維能力的考查已悄然升溫.結合多年的中學數學教學以及對新課改精神的理解，我從以下三個方面來探究類比思維在中學數學中的價值.

一、串聯歸納知識系統

根據知識系統的連貫性和相似性，運用類比思維可以對其進行有機的串聯和歸納，以幫助理解和記憶，從本質上幫助學生自我減負.例如立體幾何與平面幾何研究問題的思路與方法是相似的，而且許多定理在平面中成立，在空間中也成立.在加以比較的同時，運用類比思維來記憶一些重要的結論，可以達到事半功倍的效果.筆者根據多年的教學經驗，舉例列表如下：

平面幾何立體幾何不共線的三點可確定一個圓不共面的四點可確定一個球過平面外一點有且只有一條直線與已知直線平行過平面外一條平行直線有且只有一個平面與已知平面平行過一點有且只有一條直線與已知直線垂直過一條直線有且只有一個平面與已知平面垂直周長相等的正三角形、正方形、圓的面積為S1、S2、S3，則S1C2>C3體積相等的正四面體、正方體、球的表面積為S1、S2、S3，則S1>S2>S3等邊△ABC內任一點到各邊的距離之和為定長(等邊△ABC的高)；等腰△ABC底邊上任一點到兩腰的距離之和為定長

(△ABC一腰上的高)正四面體內任一點到各面的距離之和為定值(正四面體的高)；正三棱錐底面上任一點到各側面的距離之和為定值(正三棱錐一側面上的高)三角形被平行于它一邊的直線所截得的三角形與原三角形的面積的比等于對應邊的平方比棱錐被平行于它底面的平面所截得的小棱錐與原棱錐的體積的比等于對應邊的立方比求三角形內切圓的半徑用等面積法求三棱錐內切球的半徑用等體積法像這樣可以類比的結論還有很多，這里就不再一一贅述.

二、獲得解題思路的原動力

在《怎樣解題》中，波利亞反復強調這種思考策略：“你以前見過它嗎?你是否見過相同的問題而形式稍有不同?你是否知道與此有關的問題……這里有一個與你現在的問題有關，且早已解決的問題.你能不能利用它?你能利用它的結果嗎?你能利用它的方法嗎……如果你不能解決所提出的問題，可先解決一個與此有關的問題.你能不能想出一個更容易著手的有關問題?一個更普遍的問題?一個更特殊的問題?一個類比的問題……”

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”