技巧的誤區

湯建鋒

數學解題技巧是數學的靈魂，它既體現了數學的靈活多變，又培養了學生思維的創造性.然而，技巧有時卻是一把雙刃劍，許多同學使用不當，反而落入技巧的陷阱.本文結合幾個案例來談談使用技巧的誤區，以供大家參考.

一、走下神壇的形

數形結合是重要的數學思想，也是分析問題，解決問題的有力工具，由于它的直觀、快捷，許多同學對它青睞有加，“言必形，形必果”，是很多人的解題信條，然而，形真的那么神嗎?

例1 (2006年陜西卷)已知函數f(x)=ax²+2ax+4(0

(A)f(x1)>f(x2) (B)f(x1)

(C)f(x1)=f(x2)

(D)f(x1)與f(x2)的大小不能確定

分析：許多同學看到此題馬上想到數形結合，f(x)的對稱軸為x=-1，作出函數圖像后卻發現由于a是變量，無法準確判斷x1,x2與-1的位置關系，迫于無奈只好選D，然而我們若從數入手，直接作差f(x2)-f(x1)=a(x2-x1)(x2+x1+2)=a(x2-x1)(3-a),答案一目了然，選A.

例2 函數f(x)=14x²,若存在實數t，使當x∈［1,m］(m>1)時，f(x+t)≤x恒成立，求m的取值范圍.

分析：由f(x+t)≤x，得14(x+t)2≤x，即x²+(2t-4)x+t2≤0，x∈［1,m］(m>1)時恒成立，構造函數g(x)=x²+(2t-4)x+t2，如圖1，則

g(1)=t2+2t-3≤0,

g(m)=m2+(2t-4)m+t2≤0，分析到此處，由于變量太多，大多數同學在此卡住，僅少數同學求出-3≤t≤1,再通過對稱軸x=2-t∈［1，5］，結合g(x)圖像勉強猜出1

正解：由14(x+t)2≤x，可得|x+t|≤2x，即-x-2x≤t≤-x+2x，x∈［1,m］時恒成立，則［-x-2x］玬ax≤t≤［-x+2x］玬in,-3≤t≤-(m-1)2+1,

∴-(m-1)2+1≥-3,∴1

評注：尺有所長，寸有所短，任何一種方法，技巧都有其局限性.本題由于變量多，函數圖像位置不定，當直觀靜止的圖形運動變化起來，許多同學就無所適從了，既然如此，我們不妨換個角度，拋開形的束縛直接從數入手反而會柳暗花明又一春.

二、平平淡淡才是真

許多同學在解題時重技巧輕計算，奉奇思妙解為“陽春白雪”，視常規解法為“下里巴人”，結果往往在“陽春白雪”前碰壁，欲速則不達.

例3 (07全國卷Ⅰ理)設函數f(x)=ex-e-x.若對所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范圍.

分析：不等式恒成立問題主要有兩種方法：構造新函數或分離參數法.構造法往往要對參數分類討論，計算量大，所以大多數同學喜歡簡潔明了運算少的分離參數法.

解：由題意當x=0時，不等式成立；當x>0時，可得a≤ex-e-x獂，即a≤［ex-e-x獂］玬in,設g(x)=ex-e-x獂,得g′(x)=(x-1)ex+(x+1)e-x獂²，令g′(x)=0,無法求出方程的根，故極值也無法求出.做到此處，只能“突然死亡”，功虧一簣.

正解：令g(x)=f(x)-ax，則g′(x)=f′(x)-a=ex+e-x-a,(玦)若a≤2，當x>0時，g′(x)=ex+e-x-a>2-a≥0，故g(x)在(0，+∞)上為增函數，所以x≥0時，g(x)≥g(0)，即f(x)≥ax.

(玦i)若a>2，方程g′(x)=0的正根為x1=玪n玜+a2-42,此時，若x∈(0,x1)，則g′(x)<0，故g(x)在該區間為減函數.所以，x∈(0,x1)時，g(x)

評注：在技巧碰壁時，驀然回首，才發現被忽視的卻是最有效的，繁瑣的往往是最簡單的.

三、華山不止一條道

靈活多變的解題技巧有時也會轉化為定勢.對任何一種技巧的強化，必然會加深解題時固定的思維傾向，使我們不假思索地進入它所設定的路徑和圈套，一條道走到黑而渾然不覺.

例4 x>0,y>0，x+y+1=xy，求2x+y的最小值.

錯解：由xy=x+y+1≥2xy+1，得xy≥1+2，所以2x+y≥22xy≥22+4.

這是作業中大多數同學的答案，我覺得很奇怪，因為在基本不等式的運用中多次強調“相等”的重要性，按道理不可能犯這樣低級的錯誤，問了幾個同學，他們說：我們也知道這方法不對，本來也不會這樣做的，因為看到條件中的x+y+1=xy，很容易想起逆代法，對等式兩邊同除以xy，得1x+1y+1xy=1,∴2x+y=(1x+1y+1xy)(2x+y)=3+yx+2xy+2y+1x，結果發現無法進行下去，迫于無奈才用了第一種方法.

原來如此，許多同學看到等式中有x+y,xy很容易聯想到逆代法，卻沒有發現式中多了常數1，正是不起眼的“1”使同學們原來順暢的思維阻塞，束手無策.

正解：由x+y+1=xy，得y=x+1x-1(x>1),∴2x+y=2x+x+1x-1=2(x-1)+2x-1+3≥7.

評注：世易時移，變法宜矣 ，在解題時經常會遇到一些形似而質異的問題，若仍然生搬硬套則解題技巧反而會轉化為思維定勢，使解題者落入技巧的陷阱.

總之，任何事物都有其兩面性，解題技巧也不例外，它有時是一座橋，可以讓我們順利渡過問題之河，有時卻象一堵墻，阻擋我們前進的步伐.因此，我們在重視它的同時應保持清醒的認識，以免步入技巧的誤區.