使用判別式求值域的錯(cuò)解分析

吳文慧

對(duì)于實(shí)系數(shù)一元二次方程ax²+bx+c=0，我們將△=b2-4ac稱為它的判別式.解數(shù)學(xué)題時(shí)，我們經(jīng)常會(huì)使用到△.判別式法的實(shí)質(zhì)是將函數(shù)值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在實(shí)數(shù)集上有解的條件，若自變量的取值范圍是某個(gè)特定區(qū)間，則應(yīng)轉(zhuǎn)化為在此區(qū)間上有解的條件，此時(shí)△≥0僅為必要條件，而不是充分條件，但在解題中，有時(shí)因?qū)λ倪m用范圍不清楚，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.本文就一些常見(jiàn)錯(cuò)誤加以分析，旨在更好的掌握判別式求值域的方法.

例1 求函數(shù)y=x²-x+1x²+x+1(0≤x≤1)的值域.

錯(cuò)解：將上式變形為(y-1)x²+(y+1)x+y-1=0 (1)，∵x為實(shí)數(shù)，∴△=(y+1)2-4(y-1)(y-1)≥0 (2)，解之得13≤y≤3.

分析：由于將0≤x≤1擴(kuò)大為全體實(shí)數(shù)，因此的y范圍也可能擴(kuò)大.

正確解法：除去(2)之外，對(duì)(1)，由韋達(dá)定理，二根α，β滿足α?β=y-1y-1=1,∵α,β互為倒數(shù)，設(shè)其中一根滿足0≤α≤1,∴α+β=y+11-y≥2，解之得13≤y<1.注意對(duì)于(1)，當(dāng)y=1時(shí)，x=0顯然滿足要求，綜合上述可知13≤y≤1.

例2 求y=玸in玿+玞os玿玸in玿玞os玿,x∈(5π12,π2)的值域.

錯(cuò)解：令t=玸in玿+玞os玿,由玸in玿玞os玿=(玸in玿+玞os玿)2-12=t2-12,因此原函數(shù)值域即為y=2tt2-1的值域.

將上式變形為yt2-2t-y=0,∵t≠0，故y≠0，方程可化為t2-2yt-1=0.此時(shí)△=(2y)2+4>0,∴y∈R且y≠0.

分析：忽視了x∈(5π12,π2)的條件限制，從而忽視了t的取值范圍，此時(shí)運(yùn)用判別式法，導(dǎo)致錯(cuò)誤.

正確解法：令t=玸in玿+玞os玿=2玸in(x+π4),∵5π12

∵t≠0，故y≠0，方程可化為t2-2yt-1=0,設(shè)t1,t2為方程的兩根，則t1t2=-1<0,(t1,t2異號(hào))，故方程在(1，62)上最多僅有一根，令f(t)=t2-2yt-1,由二次函數(shù)圖像知方程在(1，62)上有一解的充要條件是：f(1)<0,

f(62)>0,即-2y<0,

12-6y>0,解之得y>26，即為所求函數(shù)的值域.

通過(guò)以上兩例常見(jiàn)錯(cuò)誤的剖析可知，在運(yùn)用判別式法求函數(shù)值域時(shí)，要注意是否有擴(kuò)大值域范圍的情況，并掌握如何檢查出擴(kuò)大的部分，或者選用其它方法求解.