一道ＩＭＯ選拔賽試題的推廣

林新建

題目(第37屆IMO中國選拔賽試題)

以△ABC的邊BC為直徑作半圓，與AB、AC分別交于點D和E，過D、E分別作BC的垂線，垂足分別為F和G，線段DG、EF交于點M.求證：AM⊥BC.

本題結論可作如下推廣：

性質1 如圖1，以△ABC的邊BC為長軸的橢圓交此三角形的另兩邊AB、AC于點E、F.設M、N分別是點E、F關于直線BC的對稱點，EN與MF交于點D.則AD⊥BC.

證明：以邊BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立直角坐標系.設橢圓的方程為x²a2+y2b2=1(a>b>0)，則 有B(-a,0),C(a,0).

利用橢圓的參數方程，可設E(a玞osα,b玸inα),F(a玞osβ,b玸inβ),則點M、N的坐標分別為M(a玞osα,-b玸inα),N(a玞osβ,-b玸inβ),直線EN的方程為：y-b玸inα=b(玸inα+玸inβ)a(玞osα-玞osβ)?(x-a玞osα).令y=0,得xD=a玸in(α+β)玸inα+玸inβ.

另一方面，直線BE、CF的方程分別為y=b玸inαa(玞osα+1)(x+a),y=b玸inβa(玞osβ-1)(x-a).聯立解得xA=a［玸in(β+α)+(玸inβ-玸inα)］玸in(β-α)+(玸inβ+玸inα).因為xD-xA的分子=a［玸in(β+α)玸in(β-α)-(玸in2β-玸in2α)］=a(玸in2β玞os2α-玞os2β玸in2α-玸in2β+玸in2α)=0,所以AD⊥BC.

性質2 如圖2，以△ABC的邊BC為實軸的雙曲線交此三角形的另兩邊AB、AC的延長線于點E、F.設M、N分別是點E、F關于直線BC的對稱點，EN與MF交于點D，則AD⊥BC.

證明：以邊BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立直角坐標系.設雙曲線的方程為x²a2-y2b2=1(a>0,b>0)，則有B(-a,0),C(a,0).

利用雙曲線的參數方程，可設E(a玸ecα,b玹anα),F(a玸ecβ,b玹anβ)，則點M、N的坐標分別為M(a玸ecα,-b玹anα),N(a玸ecβ,-b玹anβ),直線EN的方程為：y-b玹anα=b(玹anα+玹anβ)a(玸ecα-玸ecβ)(x-a玸ecα).令y=0，得xD=a(玸inα+玸inβ)玸in(α+β).另一方面，直線BE、CF的方程分別為y=b玹anαa(玸ecα+1)(x+a),y=b玹anβa(玸ecβ-1)(x-a).聯立解得xA=-a［(玸inα+玸inβ)-玸in(α-β)］(玸inα-玸inβ)-玸in(α+β).因為xD-xA的分子=a［玸in2α-玸in2β-玸in(α+β)?玸in(α-β)］=a(玸in2α-玸in2β-玸in2α玞os2β+玞os2α玸in2β)=0，所以AD⊥BC.