剖析考題　演繹精彩

蘇立標

2008年的數學高考試題可以說是好題薈翠、精彩迭出，留下許多經典之筆，可圈可點，今年浙江高考的解析幾何更是在眾多的高考試題中脫穎而出，成為其中一顆耀眼的“明珠”，再次引起人們的極大關注.下面主要對這道高考試題及其背景作一些點評與剖析.

一、試題解法的探究與點評

題目 已知曲線C是到點P(-12,38)和到直線y=-58距離相等的點的軌跡.l是過點Q(-1，0)的直線，M是C上(不在l上)的動點；A、B在l上，MA⊥l,MB⊥x軸(如圖).(1)求曲線C的方程；(2)求出直線l的方程，使得|QB|2|QA|為常數.

解(1)：設N(x,y)為C上的點，易得曲線C的方程為y=12(x²+x).

(2)解法1：設M(x,x²+x²)，直線l:y=kx+k，則B(x,kx+k)，從而|QB|=1+k2|x+1|.

在Rt△QMA中，因為|QM|2=(x+1)2?(1+x²4),|MA|2=(x+1)2(k-x²)21+k2.所以|QA|2=|QM|2-|MA|2=(x+1)24(1+k2)(kx+2)2.|QA|=|x+1|?|kx+2|21+k2,|QB|2|QA|=2(1+k2)1+k2|k||x+1x+2k|.當k=2時，|QB|2|QA|=55.從而所求直線l的方程為2x-y+2=0.

解法2：設M(x,x²+x²)，直線l:y=kx+k，則B(x,kx+k)，從而|QB|=1+k2|x+1|.過Q(-1，0)垂直于l的直線l1:y=-1k(x+1).因為|QA|=|MH|，所以|QA|=|x+1|?|kx+2|21+k2,|QB|2|QA|=2(1+k2)1+k2|k|?|x+1x+2k|.當k=2時，|QB|2|QA|=55，從而所求直線l的方程為2x-y+2=0.

點評：這是一道返璞歸真的探索定值問題的高考試題，其設計之新穎，立意之深邃，把解析幾何的基本思想體現得如此酣暢淋漓，整個試題設計匠心獨運，背景熟悉而深刻，有一種“似曾相識燕歸來”的感覺，給考生一種平和親切的答題氛圍.由于探究而使得問題不落俗套；由于方法回歸基礎而使得問題變得“樸素無華”；由于利用平面幾何知識而使得問題變得簡單明了.整個問題的設計集“動點”與“定值”于一體，完美結合，可以說是“動靜結合總相宜”.

二、試題的思考與背景

思考1：“注重通性通法，淡化特殊技巧”是近幾年高考數學命題者所追求的一貫風格.

在我們高三的復習課中，特別是第一輪的高考復習更應該加強基礎知識的落實與強化回歸，這是高考成功的根本之所在.其實，對于這個高考試題只要認真地把有關點的坐標表示出來，那么距離就迎刃而解，結論也就“水到渠成”了，所以在數學思想上，我們的復習課要堅決貫徹“最基礎的最有生命力，最基礎的最有遷移力”這一重要理念.

思考2：注重引導學生對解題后的回顧反思與刨根問底是非常有必要的.

當我們解答完成時，我們要引導學生“常常回頭看看”，尋找命題的背景材料，追蹤命題者的命題思路與痕跡，這樣既可以培養學生善于思考、善于探究的能力，而且還可以提高我們復習課的效率.所以在這里，我們不禁要問：當直線l的斜率k=2時，直線l與拋物線處于一種什么樣的幾何狀態呢?我們易求得在點Q處拋物線的切線的斜率為k切=(x+12)|x=-1=-12，所以k?k切=-1，這說明直線l是與過點Q的拋物線的切線垂直的直線，即l是過點Q的拋物線的 法線.至此，直線l的真面目”已經“浮出水面”，事實上，該命題所揭示的問題背景正是拋物線法線的一個有趣的幾何性質.

背景剖析：設Q為拋物線x²=2py(p>0)上的任意一點，QT是拋物線在點Q處的法線段，M是拋物線上(不在QT上)的動點，如果A、B在QT上，MA⊥QT，MB⊥x軸，則|QB|2=|QA|?|QT|.

證明：設Q(x0,x²02p)，則法線QT的方程為y-x²02p=-px0(x-x0)，即y=-px0x+p+x²02p，代入拋物線方程得x²+2p2x0x-2p2-x²0=0,∴x1+x2=-2px0,x1?x2=-2p2-x²0，因此|QT|=1+p2x²0|x1-x2|=2(x²0+p2)32x²0(1)，設M(x1,x²12p),則

B(x1,-px0x1+p+x²02p),

∴|QB|2=(x1-x0)2+(p-px0x1)2=x²0+p2x²0?(x1-x0)2 (2).

過點Q的切線方程為xx0=p(y+x²02p)，即xx0-py-x²02=0,MA的方程為xx0-py+x²12-x1x0=0，由兩條平行直線的距離公式知|QA|=|x²12-x1x0+x²02|x²0+p2=12(x1-x0)2x²0+p2(3).

由(1)(2)(3)可知|QB|2=|QA|?|QT|.

三、結束語

經過解題后的深入反思，我們可以這樣說，同樣的問題，不一樣的精彩!也只有不斷進行解題反思，才能觸及數學問題的本質.

有人曾說過“如果教師跪著教，那么學生就趴著學”，所以我們教師只有選擇站著，而且要站到一定的高度，我們的教學才有希望到達“會當凌絕頂，一覽眾山小”的境界.

參考文獻

［1］狄海鳴.2008年數學高考評卷感想.中學教研(數學).2008年第8期.