２００８年高考線性規劃中的創新題

線性規劃問題以其實用性、工具性和交互性,備受人們的關注,自從2004年進入高考后，逐步成為高考的一個新熱點，雖然命題多以小題形式出現，但隨著時間的推移，線性規劃的試題也在慢慢地發生著變化，從單純知識點的考查，到近幾年的能力考查，精彩試題不斷出現，本文例舉08年高考線性規劃中的幾道“亮題”，與各位共同欣賞.

例1 （陜西理10）已知實數x,y滿足y≥1y≤2x-1

x+y≤m,如果目標函數z=x-y的最小值為-1,則實數m等于( )

A.7B.5C.4D.3

圖1

解 如圖1，因為目標函數z=x-y，即y=x-z，所以z的幾何意義為直線在y軸上截距的相反數.解方程組y=2x-1x+y=m得：x=m+13

y=2m-13，

所以zmin=x-y=m+13-2m-13=-1，

即m=5，故選B.

本題的特點是在可行域中含有了參數，從而從靜態變為了動態，試題難度雖然不大，但背景新穎，設計巧妙，給人以脫俗之感，在解答時只要將參數m看成是常數，問題就回到常規問題上，利用通法即可求解.

例2 （安徽理15）若M為不等式組x≤0

y≥0

y-x≤2圖2表示的平面區域，則當a從－2連續變化到1時，動直線x+y=a掃過M中的那部分區域的面積為

解 如圖2，當a=-2時，動直線為l1恰過A（-2，0），當a=1時動直線為l2恰過點B（0，1），所以動直線x+y=a掃過M中區域為圖2中的陰影部分，易求得其面積為：

s=12×2×2-12×22×22=74.

本題的特點仍然是在動態上做文章，通過動直線的設置，將平面區域動態化，表面上看，目標函數不太好確立，處理起來有點困難，但實質上，問題即為不等式組x≤0

y≥0

y-x≤2

-2≤x+y≤1所表示的平面區域的面積，而這正是線性規劃中最為基本的問題，顯然命題者只是通過背景的變化，就達到了考查學生知識遷移和分析問題、解決問題的能力.

例3 （山東理12）設二元一次不等式組x+2y-19≥0

x-y+8≥0

2x+y-14≤0,所表示的平面區域為M,使函數y=ax(a>0,a≠1)的圖象過區域M的a的取值范圍是（ ）

A.［1,3］B.［2,10］

C.［2,9］D.［ 10,9］.

圖3

解 二元一次不等式組所表示的區域為圖3中的陰影部分.

當函數y=ax(a>0,a≠1)分別過點（1，9）和（3，8）時，a=9和a=2，所以a的取值范圍是［2,9］,故選C.

本題的特點是在于創新,將線性規劃與指數函數巧妙的綜合在一起,新而不怪,巧而不難,重知識的交匯與融合,旨在考查知識的理解與應用,是題海戰術所無法企及的,極具導向性和示范性.

例4 （浙江理17）若a≥0,b≥0,且當x≥0

y≥0

x+y≤1時，恒有ax+by≤1，則以a、b為坐標的點P（a，b）所形成的平面區域的面積等于.

縱觀08年線性規劃試題,本題是最具特色的，背景新穎、綜合性強，給學生提供了足夠的思維空間，橫看成嶺側成峰，你從不同視角去審視它，都會得到收獲.

解1 （解析法）如圖4，畫出點P（x,y）的可行域.

圖4

因為ax+by≤1恒成立，即x1a+y1b≤1在可行域中恒成立，則：1a≥1且1b≥1，否則可行域中總會存在著不滿足題意的點.

即0≤a≤1

0≤b≤1，

所以點P（a，b）所形成的平面區域為邊長為1的正方形，

所以S=1.

解析法是我們處理線性規劃問題最為常用的方法，在坐標軸上兩個截距1a、1b的構造，巧妙地將可行域與恒成立問題統一起來，從而使問題得以順利解決，截距的構造是解題的關鍵.

解2 （三角法）：設0≤x≤cos2α,0≤y≤sin2α，則：

ax+by≤acos2α+bsin2α=acos2α+b(1-cos2α)=(a-b)cos2α+b≤a-b+b=a≤1同理可得：

ax+by≤acos2α+bsin2α=a(1-sin2α)+bsin2α=(b-a)sin2α+a≤b-a+a=b≤1所以0≤a≤1

0≤b≤1，

即點P（a，b）所形成的平面區域為邊長為1的正方形，所以S=1.

考題的難點就在于變量太多，通過三角代換，減少了變量元，同時借助三角函數的有界性，巧妙地確定出點P所形成的平面區域.

解3 （增量法）：因為x≥0,

y≥0,

x+y≤1故可設x+y+m=1(0≤m≤1 ），

所以ax+by=a(x+y+m)+by-ay-am=a(1-m)+(b-a)y≤1恒成立，

當y=1,此時m=0時，a(1-m)+(b-a)y的最大值為b，所以0≤b≤1，

同理可得：0≤a≤1，

所以點P（a，b）所形成的平面區域為邊長為1的正方形，則S=1.

考題的另一個難點是問題背景都不是等量關系，通過增量法，巧妙地將動態問題轉化為等量問題，從而使問題簡化.

解4 （極端法）：考慮可行域的極端情形，分別把（0，1）、（1，0）代入ax+by≤1得：0≤a≤1

0≤b≤1,

即點P（a，b）所形成的平面區域為邊長為1的正方形，所以S=1.

線性規劃往往與極端情況相關聯，本解法正是從可行域的極端情形入手，解法簡捷、流暢.

解5 （構造法）：構造直線L：ax+by=0，設可行域內的點到直線L的距離為d，因為a,b,x,y∈R+

，所以d=|ax+by|a2+b2=ax+bya2+b2，即ax+by=da2+b2≤1，恒成立，圖5

如圖5，點A（0，1）、B（1，0）到L的距離分別為：

d1=ba2+b2,

d2=aa2+b2，則

d1a2+b2=ba2+b2·a2+b2=b≤1

d2a2+b2=aa2+b2·a2+b2=a≤1,

所以0≤a≤1

0≤b≤1，

即點P（a，b）所形成的平面區域為邊長為1的正方形，所以S=1.

通過構造直線L，確定了ax+by的幾何意義，從而將問題回歸到線性規劃最基本的模型.構造新穎，給人以美的享受.

通過上述幾個例子，我們不難發現，線性規劃題型已從當初的簡單逐步過渡到應用與綜合，考查的側重點也不再局限于線性規劃本身，而是加強了與其它知識的交匯，成為高考試卷中一道靚麗的風景.

作者簡介 劉曉東,男,浙江省湖州市吳興高級中學高級教師,曾在多家刊物上發表多篇文章.

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