正多面體種類的另一種證明

馬　俊

我們知道，正多面體只有五種，即正四面體，正六面體，正八面體，正十二面體，正二十面體.我們的教科書上是利用歐拉公式證明了這個結論.

現在，我們用一種相對基礎的方法來進行證明.

設正多面體的每個面為正n邊形，每個頂點引出m條棱，那么由多邊形和立體圖形的意義可知：m和n為大于或等于3的正整數.考慮任何一個頂點A，由它引出m條棱，故有m個相等的角以A為頂點，而這m個角的和應小于π.這個我們利用余弦定理和余弦函數在(0,π)上的單調性可以很容易地證明.我們的證明就是建立在這個結論上的.

正n邊形的每個內角為(1-2n)π，則有(1-2n)π≥(1-23)π=π3，當且僅當n=3時等號成立.這樣m<2ππ3=6，即m只可能取3，4，5.正三角形，正四邊形，正五邊形的每個內角分別為π3,π2,3π5.所以若m=3，n可能取3，4，5；若m=4，n只可能取3；若m=5，n只可能取3.故只有如下五種可能的情況：

mn類型

33正四面體

34正六面體

35正十二面體

43正八面體

53正二十面體

而且我們可以用幾何方法做出這五種正多面體，且不可能再有其他的情況，故多面體只有五種.

這種方法，我們沒有用歐拉公式，只是用初等的辦法就將其解決了.數學上還有許多較困難的問題可以用初等方法進行解決，希望同學們可以經常思考問題并提出問題.

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