一道幾何題的古今解法對照

葛梅芳

江蘇版高中數學選修1-1課本第４５頁，有這樣一道例題：

已知點P(x, y)到定點Ｆ（c,0）的距離與它到定直線Ｌ：x=a2c的距離的比是常數ca(a>c>0),求點Ｐ的軌跡.

解 由題意得（x-c)2+y2|a2c-x|=ca

化簡得:(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

令a2-c2=b2,則化為x2a2+x2b2=1(a>b>0)

所以Ｐ點軌跡為橢圓.

從例題可以得到結論：平面上到定點的距離與它到定直線的距離的比為常數（小于１的正常數）的點的軌跡是橢圓.

其實，古代數學家歐幾里得在失傳的幾何著作《面軌跡》中就已給出這一命題但未證明：

“到定點與定直線的距離之比等于給定的比的點的軌跡是圓錐曲線.當給定比小于１時，它是橢圓；當給定比等于１時，它是拋物線；當給定比大于１時，它是雙曲線.”

后來是亞歷山大時期數學家帕普斯（Pappus, 約公元290-350）給出了如下證明.（注，當時數學家還沒有提出直角坐標系和坐標及方程的概念）

古代數學家帕普斯對上述命題的證明：(以橢圓為例)

圖1

如圖1: 設F為定點，FB為定直線的垂線，P為動點，已知PFBN=e （e為常數，且e<1），求P的軌跡.

分析BN即P到定直線的距離.

解 作PN垂直于FB, 在FB上取點K，使得FNNK=PFBN=e，在NF或其延長線上取點K′，使得NK′=NK (如圖2).于是PF=e·NB，

圖2

FN=e·NK

PN2=PF2-FN2

=e2·NB2-FN2

=e2·NB2-e2·NK2

=e2(NB+NK)·(NB-NK)

=e2·BK′·BK①

設A和A′是FB上滿足已知條件的點，

即FAAB=FA′A′B=e，則

FAAB=FNNK=FNNK′=FA′A′B=e

所以FA+FNAB+NK=e,即ANAB+NK′=ANBK′-AN=e，所以ANBK′=e1+e

FA′-FNA′B-NK=e, 即A′NBK+A′N=e,所以A′NBK=e1-e,

所以AN·A′NBK′·BK=e21-e2②

由①和②得：PN2AN·A′N=1-e2③

因此，根據古代數學家阿波羅尼奧斯已經在它的《圓錐曲線》中的定義，可知最后一個方程表明點Ｐ的軌跡是橢圓.

阿波羅尼奧斯是古代的研究圓錐曲線最有名的數學家，按照他的結論：

設L為橢圓上任意一點，過L作ED的垂線交

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