一個普適于橢圓的幾何新特性的發現與證明

趙　燚

1 前言

本人在輔導高中數學課程時，發現了一個普適于橢圓的幾何新特性，在本文暫且稱其為橢圓的“焦弦定理”，查閱有關數學教材、數學手冊后，未見過類似的或近似的書面報道.

本文通過解析幾何的方法，對此橢圓的幾何新特性（“焦弦定理”）給予了證明，同時引入了“焦弦常數”的新概念，歡迎有關人士提出討論意見.

2 橢圓幾何新特性――橢圓“焦弦定理”的證明

本文稱其為橢圓的“焦弦定理”可文字敘述如下：

橢圓上的任意一點，通過焦點的兩個焦弦共有四個焦半徑，相交的兩個焦半徑分別與其在同一焦弦上的另一個焦半徑之間形成兩個比值，兩個比值之和是一個定值，此稱其為“焦弦常數”，即：兩倍的長軸平方與焦距平方之和除以長軸平方與焦距平方之差.

過橢圓x2a2+y2b2=1上的任意點A，分別作過橢圓兩焦點F1、F2的焦弦，形成四個焦半徑AF1、AF2、F1B、F2C，那么兩個相交的焦半徑AF1、AF2分別與其在一條焦弦上的長軸另一側的焦半徑F1B、F2C之間的比值AF1/ F1B、AF2/ F2C，隨著點A移動比值一直在變化，但是兩個比值之和是一個常數，此稱其為“焦弦常數”：Fc=2×a2+c2a2-c2，其中a為半長軸，圖1c為半焦距.

如圖1所示，設A點的坐標為（x0,y0），AF1F1B=λ1，AF2F2C=λ2，

應用定比分點定理，對應于焦點F1則有： -c=x0+λ1xB1+λ1和0=y0+λ1yB1+λ1,

可以解得：xB=-（1+λ1)c+x0λ1, yB=-y0λ1.

同理，對應于焦點F2可以解得C點坐標：

xc=（1+λ2)c-x0λ2，yc=-y0λ2

且又因為c2=a2-b2，A、B、C三點在橢圓上，可得以下三式：

x20a2+y20a2-c2=1①

1a2×［-（1+λ1)c+x0λ1］2+(-y0λ1)2a2-c2=1②

1a2×［（1+λ2)c-x0λ2］2+(-y0λ2)2a2-c2=1③

①×a2×(a2-c2)－②×a2×(a2-c2)×λ21

得： -［(1+λ1)2c2+2x0(1+λ1)c］=a2(1-λ21)④

①×a2×(a2-c2)－③×a2×(a2-c2)×λ22

得：-［(1+λ2)2c2-2x0(1+λ2)c］=a2(1-λ22)⑤

④×［-1(1+λ1)c］+⑤×［-1(1+λ2)c］

得：(1+λ1)c+(1+λ2)c=［a2(-1+λ1)+a2(-1+λ2)］×c-1

解此式得：橢圓的“焦弦常數”Fc=λ1+λ2

=2×a2+c2a2-c2

3 結論、推論及建議：

1、 本文所稱的“焦弦定理”存在，并可通過解析幾何予以證明.

2、 “焦弦常數”相同的橢圓具有相似性，或相似的橢圓有相同的“焦弦常數”.

3、 本文所稱的“焦弦定理”對中學生了解橢圓的基本幾何特性有一定作用，建議有關專家學者在編寫教材或參考資料時，給于闡述.

參考文獻

［1］ 數學（全日制高級中學教科書）第一冊（下） 人民教育出版社中學數學室編著北京2005.11

［2］ 名師博客.高考總復習. 數學 魏萬慶主編北京光明日報出版社2007.3

作者簡介

趙燚，1964年8月生，現任鄭州磨料磨具磨削研究所檢測儀器設備部副主任，高級工程師，鄭州市第十一屆青聯委員，河南省硅酸鹽學會會員.1985年至今一直從事超細磨料、精細陶瓷、人造金剛石制品技術、檢測儀器與設備的研究開發與應用技術研究.

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