函數(shù)概念的幾點(diǎn)注解

什么是函數(shù)呢？一般地，設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x、y，如果對(duì)于x在某一范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，y都有唯一的確定的值與之相對(duì)應(yīng)，那么就說y是x的函數(shù)，x叫自變量.如果當(dāng)x=a時(shí)，y=b，那么b叫做當(dāng)自變量x的值為a時(shí)的函數(shù)值．正確理解這一定義需注意以下四點(diǎn)．

函數(shù)定義中有兩個(gè)變量，一個(gè)是自變量x，另一個(gè)是函數(shù)y．由自變量的變化才引起函數(shù)的變化，所以函數(shù)關(guān)系即為某一變化過程中兩個(gè)變量之間的關(guān)系．例如，長(zhǎng)方形的面積S＝ab，其中a、b為長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，若a為定值，則S是b的函數(shù)，b是自變量．

自變量的取值必須使含有自變量的代數(shù)式有意義.在函數(shù)的解析式中，含自變量x的代數(shù)式的形式通常有以下幾種．

1． 整式型：其自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)．

例如，y=2x-1中，自變量x的取值范圍是全體實(shí)數(shù)．

2． 分式型：其自變量的取值范圍是使分母不為0的實(shí)數(shù)．

例如，y= 中，因0不能做分母，故1-x≠0，則自變量x的取值范圍是x≠1．

3． 二次根式型：其自變量的取值范圍是使被開方式非負(fù)的實(shí)數(shù)．

例如，y= 中，因負(fù)數(shù)沒有平方根，故x+1≥0，即x≥-1，所以自變量x的取值范圍是x≥-1．再如，y= 中，自變量x的取值范圍是x=0．

4． 若包含上述兩種或三種情況時(shí)，自變量的取值范圍是各個(gè)取值范圍的公共部分．

例如，函數(shù)y= 中，x的取值范圍應(yīng)為x+1≥0，2x-3≠0，也就是兩個(gè)不等式x+1≥0與2x-3≠0的公共解．故x≥-1且x≠ ．

5． 當(dāng)用函數(shù)關(guān)系表示實(shí)際問題時(shí)，自變量的取值必須使實(shí)際問題有意義．

例如，圓的面積公式S=πr 2中，r表示圓的半徑，故r>0（或r≥0）．

“唯一性”是指：自變量x在其取值范圍內(nèi)，每取一個(gè)確定的值，y都有值與之對(duì)應(yīng)；同時(shí)，自變量x在其取值范圍內(nèi)，每取一個(gè)值時(shí)，y只有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)．例如，y=x 2中，x在實(shí)數(shù)范圍中任意取一個(gè)值時(shí)，y有且只有一個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，故y是x的函數(shù).但反過來，y在非負(fù)數(shù)的范圍內(nèi)任取一個(gè)值，x會(huì)有一個(gè)或兩個(gè)值與之對(duì)應(yīng)，故x不是y的函數(shù)．

在某函數(shù)關(guān)系中有兩個(gè)變量，若它們都能滿足“對(duì)一個(gè)變量在其取值范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，另一個(gè)變量都有唯一的確定的值與之相對(duì)應(yīng)”，那么它們誰都可以作為對(duì)方的函數(shù)．比如y=2x中，y是x的函數(shù)，x也是y的函數(shù).在確定的問題中，我們會(huì)根據(jù)需要來視某個(gè)變量為自變量，某個(gè)變量為函數(shù).

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文