例析一次函數新定義題

近年中考中，屢屢出現新型試題——新定義型問題.此類題目以“新定義”為呈現形式，要求學生按新定義操作或寫出操作步驟.學生需多角度、多層次、多側面地運用數學思想方法分析和解決問題.這類試題新穎別致，頗具魅力，成為近年中考中的奇葩.現以一次函數中考試題為例加以說明.

例1（2007年·浙江）設有關于x的一次函數y=a 1x+b1與y=a2x+b2，則稱函數y=m（a1x+b1）+n（a2x+b2）（其中m+n=1）為此兩個函數的生成函數．

（1）當x=1時，求函數y=x+1與y=2x的生成函數的值；

（2）若函數y=a1x+b1與y=a2x+b2的圖象的交點為P，判斷點P是否在這兩個函數的生成函數的圖象上，并說明理由．

解：（1）兩個函數的生成函數為y=m·（x+1）+n·（2x），其中m+n=1.當x=1時，y=m·（1+1）+n·（2×1）=2m+2n=2（m+n）.

∵m+n=1，∴y=2．

（2）點P在這兩個函數的生成函數的圖象上.

設點P的坐標為（a，b）.

由題設，有a1·a+b1=b，a2·a+b2=b.

對于生成函數y=m（a1x+b1）+n（a2x+b2），當x=a時，y=m（a1·a+b1）+n（a2·a+b2）=mb+nb=b（m+n）=b.

∴點P（a，b）在這兩個函數的生成函數的圖象上．

點評：新定義是解題的切入點和突破口，要反復利用.要認真閱讀題目中介紹的新知識，包括定義、公式、表示方法以及計算方法等，并且正確理解引進的新知識，讀懂范例的應用.然后再根據介紹的新知識、新方法進行計算，并與范例的運用進行比較，防止出錯.本例中，生成函數顯然是一次函數，其圖象為直線，且經過原來兩個函數圖象的交點.所以生成函數圖象就是過“交點”的一系列直線（因生成函數不僅僅表示一個函數）.

例2（2008年·紹興）定義［p，q］為關于x的一次函數y=px+q的特征數．

（1）若特征數是［2，k-2］的一次函數為正比例函數，求k的值；

（2）設A（0，-4），若一次函數的圖象經過A點，且圖象與x軸、y軸所圍成的三角形的面積為4，求這個一次函數的特征數．

解：（1）∵特征數為［2，k-2］的一次函數為y=2x+k-2，

∴k-2=0，k=2．

（2）設這個一次函數的圖象與x軸的交點為B（m，0）.

由題設， ｜m｜·4=4，故m=±2. B點坐標為（2，0）或（-2，0）.

∴由待定系數法易求得一次函數為y=-2x-4或y=2x-4.

∴特征數為［-2，-4］或［2，-4］．

點評：特征數，顧名思義就是把一次函數的特征刻畫出來的“數”.給出了特征數，一次函數就確定下來了，反之也正確.特征數與一次函數形成一一對應關系.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文