圖解方案設計型問題

方案設計型問題一直是近幾年中考的熱點，它考查學生能否從不同的角度分析問題和解決問題，能否解釋結果的合理性.為使同學們掌握方案設計型問題的解題技巧，特舉例解析如下.

例1（2008年·重慶）為支持四川抗震救災，重慶市A、B、C三地分別籌集了賑災物資100噸、100噸、80噸，需要全部運往四川重災地區的D、E兩縣.根據災區的情況，這批賑災物資中運往D縣的要比運往E縣的2倍少20噸.

（1）求這批賑災物資中運往D、E兩縣的各是多少噸.

（2）若要求C地運往D縣的賑災物資為60噸，A地運往D縣的賑災物資為x噸（x為整數），B地運往D縣的賑災物資的噸數小于A地運往D縣的賑災物資的噸數的2倍.其余的賑災物資全部運往E縣，且B地運往E縣的賑災物資不超過25噸.那么，A、B兩地的賑災物資運往D、E兩縣的方案有幾種？請你寫出具體的運送方案.

（3）已知A、B、C三地的賑災物資運往D、E兩縣的費用如下表.

為了及時將這批賑災物資運往D、E兩縣，某公司主動承擔運送這批賑災物資的任務.在（2）問的要求下，該公司運送這批賑災物資的總費用最多是多少？

分析：（1）問可根據題意列方程組，較易解決.（2）問根據題目中給出的賑災物資運往各地的質量可考慮列出關于x的不等式組，求出A、B兩地的賑災物資運往D、E兩縣的方案.（3）問可從求總費用與x的函數關系式入手，依據自變量x的取值范圍求出函數最大值，關鍵是正確建立函數關系式.

解：（1）設這批賑災物資運往D縣的為a噸，運往E縣的為b噸，由題意得a+b=280，a=2b-20，解得a=180，b=100.此即為所求.

（2）由題意及（1）的結果，可作出圖1所示的示意圖，并可得到不等式組120-x<2x，100-（120-x）≤25，解得40

因x為整數，故x可取值41、42、43、44、45，則這批賑災物資的運送方案相應地有5個.下面列舉2個.

方案一：A地的賑災物資運往D縣41噸，運往E縣59噸；B地的賑災物資運往D縣79噸，運往E縣21噸.

方案二：A地的賑災物資運往D縣42噸，運往E縣58噸；B地的賑災物資運往D縣78噸，運往E縣22噸.

（3）設運送這批賑災物資的總費用為w元，則由題意得w=220x+250（100-x）+200（120-x）+220（x-20）+200×60+210×20=-10x+60 800.

因為w隨x的增大而減小，且40

點評：函數類的應用題，關鍵是準確地寫出表達各種量的代數式，正確建立函數模型，并求出自變量的取值范圍.解題的目標最終轉化為求函數最值.另外，利用不等式設計方案時，要注意問題的實際意義 .如本題中要注意“x為整數”這個條件，這樣才能確定具體的方案.找到函數解析式中自變量的取值范圍，往往是解決這類問題的關鍵所在.不易理清思路時，可畫出示意圖幫助弄清關系.

例2某農機租賃公司共有50臺聯合收割機，其中甲型20臺，乙型30臺.現將50臺聯合收割機派往A、B兩地區收割小麥，其中30臺派往A地區，20臺派往B地區.兩地區與該農機租賃公司商定的每天的租賃價格見下表.

（1）設派往A地區x臺乙型聯合收割機，農機租賃公司這50臺聯合收割機一天獲得的租金為y元，求y與x之間的函數關系式，并寫出 x的取值范圍.

（2）若使農機租賃公司這50臺聯合收割機一天獲得的租金總額不低于79 600元，試說明有多少種分配方案，并將各種方案寫出來.

（3）如果要使這50臺聯合收割機每天獲得的租金最高，請你為該農機租賃公司提出一條合理化建議.

分析：根據題設，可作出下面的示意圖，從而獲得解題思路.

解：（1）設乙型有x臺派往A地區，則（30-x）臺派往B地區.從而依條件有：甲型有（30-x）臺派往A地區，（x-10）臺派往B地區.

故y=1 800（30-x）+1 600（x-10）+1 600x+1 200（30-x）=74 000+200x.

∵0≤x≤30，0≤30-x≤20，0≤x-10≤20，

∴10≤x≤30.

（2）由題意，74 000+200x≥79 600，故x≥28.

∴x=28，29，30.有三種方案（具體方案略）.

（3）由（1）知y隨x的增大而增大，故當x=30時，有y最大=74 000+200×30=80 000.建議就是：把乙型收割機全部派往A地區，甲型收割機全部派往B地區.

點評：題中所給的信息量大，數據也較多，為梳理各個量之間的關系，我們可以畫出示意圖來整理信息.解決這類問題的基本思路是：采用示意圖，結合題意建立恰當的函數關系式.結合各個量的約束條件求出未知數的范圍，再結合實際問題確定可能的方案.根據一次函數的增減性確定出最優方案.

例3（2008年·麗水）為了促進“長三角”區域的便捷溝通，實現節時、節能，杭州灣跨海大橋于今年5月1日通車.下表是寧波到上海的兩條線路的有關數據.

（1）若小汽車的平均速度為80 km/h，則小車走直路比走彎路節省多少時間？

（2）若小汽車每千米的油耗為x升，汽油價格為5元/升，請探求：對x的不同取值，走哪條線路的總費用較小（總費用=過路費+油費）.

分析：該題（1）問較易.（2）問由題意可知：走每條線路所需的費用是每千米的油耗的函數，故可以構建“函數模型”.

解：（1）（316-196）÷80=1.5，所以小汽車走直路比走彎路節省了1.5 h.

（2）設小汽車走直路和走彎路的總費用分別為y1元、y2元，則y1=5×196x+180=980x+180，y2=5×316x+140=1 580x+140.設走直路和走彎路的費用之差為y元，則y=y1-y2=-600x+40.畫出一次函數y=-600x+40的圖象，如圖3，它與x軸的交點為 ，0.由圖象可知：

當x= 時，y=0，即y1=y2，兩種線路總費用一樣；當00，即y1>y2，小汽車走彎路的總費用較小； 當x> 時， y<0，即y1

點評：本題屬于函數應用題，可以利用方程或不等式解決，也可以利用函數圖象解決.本解把比差法與圖象法相結合，比較直觀地解決了問題.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文