一次函數(shù)中考?jí)狠S題賞析

在中考中，借助于一次函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的題目，屢屢出現(xiàn)，而且?guī)缀鹾w了所有的題型.下面以幾道中考?jí)狠S題為例予以說(shuō)明.

例1（2008年·南京）一列快車(chē)從甲地駛往乙地，一列慢車(chē)從乙地駛往甲地.兩車(chē)同時(shí)出發(fā).設(shè)慢車(chē)行駛的時(shí)間為x h，兩車(chē)之間的距離為y km.圖1中的折線(xiàn)表示y與x之間的函數(shù)關(guān)系.請(qǐng)根據(jù)圖象進(jìn)行以下探究.

（1）甲、乙兩地之間的距離為 km.

（2）請(qǐng)解釋圖中點(diǎn)B的實(shí)際意義.

（3）求慢車(chē)和快車(chē)的速度.

（4）求線(xiàn)段BC所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系的解析式，并寫(xiě)出這時(shí)自變量x的取值范圍.

（5）若第二列快車(chē)也從甲地出發(fā)駛往乙地，速度與第一列快車(chē)相同，在第一列快車(chē)與慢車(chē)相遇30 min后，第二列快車(chē)與慢車(chē)相遇.求第二列快車(chē)比第一列快車(chē)晚出發(fā)多少小時(shí).

解析：圖中的折線(xiàn)是由三條線(xiàn)段組成的，三條線(xiàn)段各自表示一個(gè)一次函數(shù)關(guān)系，并且每一個(gè)函數(shù)自變量的取值范圍也都是確定的（因?yàn)榫€(xiàn)段有頭有尾）.

x軸上的數(shù)表示慢車(chē)行駛的時(shí)間，y軸上的數(shù)表示兩車(chē)之間的距離.知道了這些，我們就可以著手做題了.

（1）因?yàn)閥軸上的數(shù)表示兩車(chē)之間的距離，所以當(dāng)兩車(chē)出發(fā)時(shí)，即兩車(chē)行駛的時(shí)間為0 h時(shí)，對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)就是甲、乙兩地之間的距離.所以讀取到的第一個(gè)信息是: 甲、乙兩地之間的距離為900 km.

（2）點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，說(shuō)明慢車(chē)開(kāi)出了4 h；而縱坐標(biāo)為0，說(shuō)明兩車(chē)之間的距離為0 km，即兩車(chē)相遇.所以圖中點(diǎn)B的實(shí)際意義是：當(dāng)慢車(chē)行駛4 h時(shí)，慢車(chē)和快車(chē)相遇.

（3）由圖象可知，慢車(chē)12 h行駛的路程為900 km，所以慢車(chē)的速度為 =75（km/h）.又當(dāng)慢車(chē)行駛4 h時(shí)，慢車(chē)和快車(chē)相遇，此時(shí)兩車(chē)行駛的路程之和為900 km.設(shè)快車(chē)的速度為v km/h，則75×4+v×4=900，解得v=150.所以快車(chē)的速度為150 km/h.

（4）求線(xiàn)段BC所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系的解析式，需要知道點(diǎn)B、C的坐標(biāo).B點(diǎn)坐標(biāo)已知.C點(diǎn)隱含的一個(gè)重要信息是：快車(chē)已到達(dá)乙地.

根據(jù)題意，快車(chē)行駛900 km到達(dá)乙地，所以快車(chē)行駛 =6（h）后到達(dá)乙地.此時(shí)兩車(chē)之間的距離為6×75=450（km）.所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，450）.

知道了B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)后，利用待定系數(shù)法易求得線(xiàn)段BC所表示的y與x之間的函數(shù)關(guān)系為y=225x-900.自變量x的取值范圍是4≤x≤6.

（5）第二列快車(chē)與慢車(chē)相遇時(shí)，慢車(chē)行駛了4.5×75=337.5（km）.故第二列快車(chē)行駛了900-337.5=562.5（km），它的行駛時(shí)間為 =3.75（h）.這時(shí)，第一列快車(chē)已行駛了4.5 h，故第二列快車(chē)比第一列快車(chē)晚出發(fā)4.5-3.75=0.75（h）.

點(diǎn)評(píng)：本題既有明了的信息，也有隱含的、需要?jiǎng)幽X筋尋找的信息，張弛有度，難易適中，是一道很好的一次函數(shù)的綜合應(yīng)用題.雖然題目本身看似龐大、復(fù)雜，但只要一步一步地進(jìn)行分析，把列車(chē)運(yùn)行過(guò)程中的實(shí)際狀態(tài)與圖象中的各段對(duì)應(yīng)起來(lái)，就可逐步加以解決.

例2（2007年·吉林）今年4月18日，我國(guó)鐵路第六次大提速，在甲、乙兩城市之間開(kāi)通了動(dòng)車(chē)組高速列車(chē).已知每隔1 h有一列動(dòng)車(chē)組列車(chē)從甲城開(kāi)往乙城，它們的速度相同.圖2中，OA表示的是第一列動(dòng)車(chē)組列車(chē)與甲城的距離s（單位：km）和時(shí)間t（單位：h）的函數(shù)關(guān)系，BC表示的是一列從乙城開(kāi)往甲城的普通快車(chē)與甲城的距離s（單位：km）和時(shí)間t（單位：h）的函數(shù)關(guān)系.請(qǐng)根據(jù)圖中信息，解答下列問(wèn)題.

（1）點(diǎn)B的橫坐標(biāo)0.5的意義是普通快車(chē)發(fā)車(chē)時(shí)間比第一列動(dòng)車(chē)組列車(chē)發(fā)車(chē)時(shí)間 h，點(diǎn)B的縱坐標(biāo)300的意義是 .

（2）請(qǐng)你在圖中直接畫(huà)出第二列動(dòng)車(chē)組列車(chē)與甲城的距離s和時(shí)間t的函數(shù)圖象.

（3） 若普通快車(chē)的速度為100 km/h.

①求直線(xiàn)BC的解析式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍.

②求第二列動(dòng)車(chē)組列車(chē)出發(fā)后多長(zhǎng)時(shí)間與普通快車(chē)相遇.

解析：（1）點(diǎn)B的橫坐標(biāo)0.5的意義是普通快車(chē)發(fā)車(chē)時(shí)間比第一列動(dòng)車(chē)組列車(chē)發(fā)車(chē)時(shí)間晚0.5 h.點(diǎn)B的縱坐標(biāo)300的意義是甲、乙兩城相距300 km.

（2）第二列動(dòng)車(chē)組列車(chē)與第一列動(dòng)車(chē)組列車(chē)的行駛路程與行駛時(shí)間都是一樣的，只是發(fā)車(chē)時(shí)間相隔1 h，所以它們的函數(shù)的圖象是平行、“相等”的.其函數(shù)圖象如圖3中的線(xiàn)段MN所示（第二列較第一列晚出發(fā)1 h，晚1 h到達(dá)，所以MN∥AO）.

（3）①設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為 s=kt+b.

∵B（0.5，300）， C（3.5，0），

∴由待定系數(shù)法可求得s=-100t+350.

自變量t的取值范圍是0.5≤t≤3.5.

②設(shè)直線(xiàn)MN的解析式為s=k1t+b1.

因M（1，0），N（3，300），故由待定系數(shù)法可求得s=150t-150.

BC與MN的交點(diǎn)的實(shí)際意義就是第二列動(dòng)車(chē)組列車(chē)與普通快車(chē)的相遇.

∴150t-150=-100t+350.解得t=2.

因2-1=1，故第二列動(dòng)車(chē)組列車(chē)發(fā)車(chē)1 h后與普通快車(chē)相遇.

點(diǎn)評(píng)：在畫(huà)線(xiàn)段MN時(shí)，端點(diǎn)要明確，莫畫(huà)成直線(xiàn)或射線(xiàn).另外，題中已隱含了動(dòng)車(chē)組列車(chē)與普通快車(chē)的速度：150 km/h和100 km/h.利用它們也可解題.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文