艦船概念設計多目標優化和多屬性決策研究

1 引 言

在艦船概念設計中，設計者經常要完成的工作是生成多個船型方案，并從中篩選出1個或者多個綜合性能較好的方案。這實際上是一個多目標優化和決策的問題。

多目標優化問題可以描述為：一個由滿足一定約束條件的決策向量組成的向量，使得一個由多個目標函數組成的向量函數最優化。目標之間通常是相互沖突的。優化意味著要找到一個使所有目標函數都可接受的解。由于艦船本身技術性能的復雜性，采用傳統的設計方法獲得多目標優化的最佳船型概念是相當困難的。對于多目標優化問題，隨著優化技術和計算機技術的發展，從20世紀80年代開始，進化算法開始應用于解決多目標問題。目前涌現出很多種多目標進化算法，已經形成了一個熱門的研究領域[1]。

對于多目標優化問題，當Pareto最優解集求出來之后，還需要根據決策者的偏好，挑選出最后的折中解或最優解。這是一個綜合評價問題，即對多屬性體系結構描述的對象系統做出全局性、整體性的評價[2]。多屬性決策方法作為運籌學的一個分支，具有對評價對象描述精確的優點，能夠處理多決策者和多指標的對象。它通過化多為少和分層處理，直接給出排序。它是一種應用廣泛的決策方法[3]。

本文將多目標進化優化技術與多屬性決策方法結合起來，討論了艦船設計中的優化和決策問題。對于多目標優化問題，采用改進的非支配解排序的多目標進化優化算法(NSGA II)[4]求出Pareto最優解，由這些Pareto最優解構成決策矩陣，使用基于信息熵和層次分析法組合賦權求得權值，然后用逼近理想解的排序方法(TOPSIS)[3]進行多屬性決策(MADM)研究，對Pareto最優解給出了排序。文中討論了1艘水面艦船概念設計的實例。

2 模型和求解

艦船概念設計需要考慮作戰、技術、經濟、安全等性能，這是一個多目標優化和決策的問題。在多目標優化的Pareto解集求出后，設計者還需要在多個優化方案中尋求一種綜合性能最優的結果。以追求兩個目標函數最大為例，圖1顯示了這種優化和決策的過程。

圖1 Pareto最優解和決策過程示意圖

2.1 多目標優化

一個多目標優化問題可以表述為如下形式：

minF(x)=[f1(x),f2(x), …,fn(x) ]

(1)

x=[x1,x2,…,xl]

s.t.hi(x)=0i=1,2,…,I

gj(x)≤0,j=1,2,…,J

式(1)表示了n個優化屬性準則，l個決策變量，I個等式約束和J個不等式約束的多目標最小化優化問題。

在多目標優化中，由于目標之間相互沖突，很難找到一個真正意義上的最優解，而存在一系列解，其特點為至少存在一個目標優于其他所有的解，這樣的解稱之為非支配解，或Pareto解，這些解的集合即為Pareto最優解集。求解多目標優化問題的主要任務是求得該優化問題的Pareto最優解集。

在眾多多目標優化算法中，多目標遺傳算法的應用研究最為廣泛。遺傳算法通過對一個種群進行運算操作，在一個進化代中可以得到多個Pareto最優解，因此，它是求解Pareto最優解集的一種有效算法。NSGA II算法最早由印度研究人員SRINIVAS和DEB提出[5]，他們將非支配排序思想引入遺傳算法，把多個目標函數的計算轉化為虛擬適應度的計算，用于求解多目標優化問題。NSGA的基本原理是基于對個體的幾層分級實現種群的非支配排序，在選擇操作執行前，群體根據支配與非支配關系排序，所有非支配個體被排成一類，這些個體共享虛擬適應度值，依此逐步對剩余的個體進行分級并賦予相應的虛擬適應度。NSGA II是以NSGA為基礎進行改進的非支配排序遺傳算法，采用快速非支配排序過程、精英保留策略和無參數小生境操作算子，克服了傳統NSGA的計算復雜度高、非精英保存策略和需特別指定共享半徑的缺點。

2.2 多屬性決策

實際上，多目標問題的求解還是一個決策問題，而不僅僅是一個優化問題。當Pareto最優解集求出來之后，還需要根據決策者的偏好，挑選出最后的折中解或最優解。決策是基于方案的，決策者更希望通過對多個方案進行權衡后做出選擇。

HWANG和YOON[6]開發的逼近理想方案的序數偏好方法(TOPSIS)建立在所選擇的方案應與理想方案的差距最小，并且和負理想方案差距最大的理論上。可以將關于m個方案n個屬性的多屬性決策問題看成在n維空間中m個點構成的幾何系統中進行處理。此時，所有的方案可以作為該系統的解。TOPSIS通過和理想解的相近程度，同時考慮到理想解和負理想解的距離來判斷方案的優劣。這種方法簡單，可以產生清楚的解的偏好順序。

TOPSIS方法使用屬性的偏好信息，即需要屬性的權重集。它的解依賴決策者的賦權方法。在多屬性決策中，有很多的賦權方法，大致可以分成主觀賦權、客觀賦權和組合賦權3種[7]。主觀賦權方法是決策者給出偏好信息的方法，主要有特征向量法、最小平方和法和層次分析法等；客觀賦權方法是基于決策矩陣信息的方法，如主成分分析法、信息熵法和多目標優化方法等；組合賦權是主觀和客觀賦權相結合的一種賦權方法。本文將層次分析法和信息熵法組合起來，以期得到更加合理的綜合權重，然后再用TOPSIS方法得到最后的Pareto最優解排序。

3 算例和討論

采用上述過程，討論了1艘水面艦船概念設計的實例[8]，該艦船的數學模型采用美國麻省理工學院水面船設計綜合模型[9]。優化模型簡述如下。

3.1 已知參數

持續速度30 kn，續航速度20 kn，續航距離6 400 km，自持力45 d，士兵58人，有效負載247.65 t。

3.2 優化設計變量

該優化問題共有45個變量，其中16個離散變量。基本設計變量8個，即水線面長度LWL，船寬B，甲板層數Ndecks，菱形系數CP，最大橫剖面系數CX，船體平均甲板高度HDKh，艙底高度BILGE和艙室甲板高度HDKd。

推進系統參數包括推進器數量、效率、潤滑油重量、螺旋槳數量、槳直徑、推進軸長度。船舶控制系統參數為導航系統重量、穩定翼數量；作戰系統的參數為阻力系數、聲吶面積、重量、重心高度等。

3.3 約束條件和目標函數

1) 變量約束條件：

LWL/B=7.5～10

B/T=2.8～3.7

(2)

性態約束條件

排水量/LWL=45～65

GM/B=0.09～0.122

(3)

2) 目標函數一共取6個：

(4)

前5個目標函數為相對偏差。其中，kWG為發電機功率；kWGREQ為要求功率；PI為安裝的軸馬力，PIREQ為達到持續速度所需要的軸馬力；VTR為需要容積；VTA為實際具有的容積；ATR為需要面積；ATA為實際面積；DELTAFL為全排水量；WT為總重量。

從艦船設計的角度看，前5個指標必須都大于零。因此，它們也是約束條件的一部分。電機功率、軸馬力的誤差以及建造費用越小越好，容積、面積和重量偏差越大越好。表1給出了NSGA II方法的參數設定情況，一共得到875個最優解。

表1 NSGA II方法參數設定

圖2～圖6給出了6個目標之間的Pareto最優解的散點圖，橫坐標均取為重量相對偏差。圖中用實線給出了Pareto前沿。

針對這6個屬性，根據層次分析法[10]給出判斷矩陣P：

(5)

圖2 重量偏差和功率偏差間的散點圖

圖3 重量偏差和費用間的散點圖

圖4 重量偏差和容積偏差間的散點圖

圖5 重量偏差和功率偏差間的散點圖

圖6 重量偏差和面積偏差間的散點圖

求得P矩陣的最大特征值為λmax=6.467 3，一致性指標C.I.和一致性比例C.R.分別為：

(6)

當C.R.<0.1時，即要求決策者判斷的一致性與隨機生成判斷的一致性之比小于10%，認為判斷矩陣的一致性是可以接受的。求解用λmax構成的關于屬性權重的線性方程組，得到權重集(即主觀偏好信息)：

λ={0.325 0,0.156 4,0.173 8,0.135 4,

0.117 4,0.092 0}

(7)

根據信息熵法，得到的權重集(客觀賦權)為:

w={0.689 3,0.160 9,0.007 6,0.007 1,

0.135 0,0.000 1}

(8)

利用偏好信息λ對客觀賦權w進行修正：

(9)

得到比較準確的權重：

w0={0.838 0,0.094 13,0.004 941,0.003 596,

0.059 28,3.441 4×10-5}

(10)

可見，建造費用的權重非常小，它對決策的影響最小。

為了在875個Pareto最優解中挑選最終解，先構成875×6的決策矩陣D(即6個目標函數構成決策矩陣的列)，再運用TOPSIS方法計算綜合排序指數，以此指數的從大到小排列，得到最優解從優到劣的排序。

表2給出了是否計及偏好時，排序第1的方案結果。

表3 考慮偏好與否后排序結果及比較

這3個方案分別標識為A，B，C，它們用★號表示在圖2～圖6中。從圖5中可以得知，基于客觀賦權和TOPSIS方法得到的結果(方案A)位于Pareto前沿中部位置。考慮了決策者的偏好信息后的方案B，前5個指標都是優于方案A的，但是費用稍高一些。從決策的角度來看，通過費用的少許增加(1.24%)，能夠換來其他指標的提升，特別是前兩個指標提升更加明顯。這種選擇是可行的。依據AHP的偏好信息進行修正后，決策結果更加合理一些。

從多目標優化的角度來看，文獻[8]給出的方案A和B是一個劣解(在圖4和圖6中，因C方案的函數值太小，未表示出來)。

4 結束語

本文采用多目標進化優化算法求出Pareto最優解，使用組合賦權及TOPSIS方法對Pareto最優解給出了排序。數值算例表明，多目標進化優化算法得到的最優解分布比較均勻，采用組合賦權方法能夠將客觀賦權和決策者的經驗結合起來。將多目標優化方法和多屬性決策方法綜合運用，能夠迅速獲得船舶的最優概念設計方案，結果合理。這種綜合方法，也可用于其他艦船的設計中。

[1] 崔遜學.多目標進化算法及其應用 [M].北京：國防工業出版社, 2006.

[2] 陳衍泰,陳國宏，李美娟.綜合評價方法分類及研究進展 [J].管理科學學報, 2004, (2):69-79.

[3] 徐玖平,吳巍.多屬性決策的理論與方法 [M].北京：清華大學出版社, 2006.

[4] DEB K, PRATAP A,ARGRAWAL S,MEYARIVAN T. A fast and elitist multi-objective genetic algorithm: NSGA II [J]. IEEE Trans. Evolutionary Computation, 2002, 6(2):182-197.

[5] SRINIVAS N,DEB K. Multiobjective optimization using non-dominated sorting in genetic algorithms[J]. Evolutionary Computation, 1995, 2:221-248.

[6] HWANG C L ,YOON K. Multiple attribute decision making- methods and applications: a state-of-art survey [M]. New York: Springer-Verlag, 1981.

[7] 江文奇.多屬性決策的組合賦權優化方法 [J].運籌與管理, 2006, 15(6):40-43.

[8] ANIL K A. Multi-criteria analysis in naval ship design [D]. MS Thesis, Naval Postgraduate School, Monterey, California, 2005.

[9] SHAHAK S. Naval ship concept design: an evolutionary approach [D]. MS Thesis, MIT, 1998.

[10] SATTY T L. The Analytic Hierarchy Process[M]. New York:McGraw-Hill, 1980.