作為文化的數(shù)學(xué)及其教學(xué)

一

無疑，從不同角度看，數(shù)學(xué)具有多重身份和角色：數(shù)學(xué)是一門工具、是一種語言、是一門科學(xué)、是一種文化……事實(shí)上，在過去的時間里，我們已經(jīng)有意或無意地踐行著作為工具的數(shù)學(xué)、作為語言的數(shù)學(xué)、作為思維模式的數(shù)學(xué)，等等。本文試圖轉(zhuǎn)變視角，從文化的視角重新觀照并確認(rèn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，嘗試在實(shí)踐層面上給出一些膚淺的、更接近數(shù)學(xué)本意的表達(dá)。

從作為工具、語言、思維模式的數(shù)學(xué)，轉(zhuǎn)而走向作為文化的數(shù)學(xué)，視角轉(zhuǎn)換的背后折射出的是認(rèn)識和理解的差異。所謂認(rèn)識決定行動。因而，本文愿意首先對什么是“文化”，數(shù)學(xué)是否“作為一種文化”作一些簡單探討與說明。

二

2001年頒布的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：數(shù)學(xué)是人類的一種文化，它的內(nèi)容、思想、方法和語言是現(xiàn)代文明的重要組成部分。無疑，這一論述讓我們對數(shù)學(xué)有了重新思考的可能，也給我們的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐提出了新的課題。隨之而來的關(guān)于“數(shù)學(xué)文化”的熱烈、持續(xù)的探討，恰是一種必然的呼應(yīng)。然而，令人遺憾的是，課程標(biāo)準(zhǔn)并沒有對文化乃至數(shù)學(xué)文化給出明確的界定。并且，理論的缺席已經(jīng)給實(shí)踐帶來消極影響，澄清認(rèn)識似乎已成當(dāng)務(wù)之急。否則，實(shí)踐上必難有深入的跟進(jìn)。

“文化”是我們十分熟悉而其內(nèi)涵又頗為豐富、復(fù)雜的一個科學(xué)概念。在我國古代典籍中，“文化”指“文治教化”“禮樂典章制度”等，前者用作動詞，后者為名詞。現(xiàn)代意義上的“文化”，是由西方引進(jìn)的。對于“什么是文化”這一問題，葉志良先生在《大眾文化》中的如下表述極具代表性：“每個試圖對文化作出界定的人，都可以在自己的學(xué)科視野、知識背景、學(xué)術(shù)立場、社會環(huán)境等基礎(chǔ)上，對文化的定義提出自己的見解。20世紀(jì)60年代，著名文化學(xué)家阿爾弗雷德·克洛依伯克萊德·克勒克荷恩在《文化：概念和定義述評》中曾經(jīng)列出160余種文化定義。”上述論斷足以說明，文化正像錢鐘書先生所講的“你不說我還清楚，你越說我越糊涂”的那類概念。

盡管如此，如下對文化的廣義定義，依然在國內(nèi)得到了多數(shù)人的認(rèn)同。“所謂文化，是指人類社會歷史實(shí)踐過程中所創(chuàng)造的物質(zhì)財(cái)富和精神財(cái)富的總和。”撇開其中物質(zhì)層面的文化不談，與此相關(guān)的另一有關(guān)文化的定義，同樣得到大眾的廣泛認(rèn)可。即“所謂文化，是指一定社會群體創(chuàng)造、習(xí)得且共有的一切觀念和行為”。

回到數(shù)學(xué)問題上來。數(shù)學(xué)“是人類社會歷史實(shí)踐過程中所創(chuàng)造的物質(zhì)或精神財(cái)富”嗎？進(jìn)而，數(shù)學(xué)可以看作是“一定社會群體創(chuàng)造、習(xí)得且共有的觀念和行為”嗎？答案無疑是肯定的。至此，數(shù)學(xué)“作為一種文化”的身份得以確立：數(shù)學(xué)的確是一種文化。進(jìn)而，為了區(qū)別于其他文化，我們把數(shù)學(xué)這一文化類別稱作數(shù)學(xué)文化。這就是數(shù)學(xué)文化的由來。

明確了什么是文化，隨之而來的問題是，與其他文化分支相比，數(shù)學(xué)文化的獨(dú)特性及價值表現(xiàn)在哪兒？換言之，什么是數(shù)學(xué)文化，數(shù)學(xué)文化的價值又在哪里？對此，筆者十分贊同南京大學(xué)哲學(xué)系教授鄭毓信給出的觀點(diǎn)。“所謂數(shù)學(xué)文化，是指以數(shù)學(xué)家為主導(dǎo)的數(shù)學(xué)共同體（需要提及的是，在某種意義上，普通大眾同樣也是數(shù)學(xué)共同體重要的成員，他們在數(shù)學(xué)的創(chuàng)造、發(fā)展、進(jìn)步等過程中，有著不可或缺的作用）所特有的行為、觀念、態(tài)度和精神等，也即是指數(shù)學(xué)共同體所特有的生活或行為方式，或者說是特定的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)。”事實(shí)上，細(xì)心的讀者一定已發(fā)現(xiàn)，這一對數(shù)學(xué)文化的界定，恰恰是上述文化定義的自然延伸與具體化，可謂是一脈相承。

乍一看，對數(shù)學(xué)文化的這一界定的確有點(diǎn)玄。事實(shí)上，筆者在與教師交流這一觀點(diǎn)時，的確也從教師那兒獲得了類似的反饋。但稍作深入思考后，問題似乎并不難理解。眾所周知，數(shù)學(xué)不是純客觀的存在，而是人類思想領(lǐng)域的一種創(chuàng)造（盡管其原型或許來自于客觀現(xiàn)實(shí)）。就像我們能看到1個人、1棵樹、1朵花，卻永遠(yuǎn)看不到抽象的數(shù)“1”；我們能找到像硬幣、鐘表、桌子、光盤等不計(jì)其數(shù)的具有圓形輪廓的物體，卻永遠(yuǎn)不可能在現(xiàn)實(shí)世界中找到真正意義上抽象的平面圖形“圓”，諸如此類。數(shù)學(xué)既然是一種創(chuàng)造物，那么，在其被創(chuàng)造的過程中，數(shù)學(xué)勢必會印上其創(chuàng)造者（以數(shù)學(xué)家為代表的數(shù)學(xué)共同體）鮮明的烙印。他們的行為、觀念、態(tài)度和精神勢必會以一種獨(dú)特的方式存在于數(shù)學(xué)之中，成為“投射”并“凝聚”于數(shù)學(xué)之中的重要因子。或許，呈現(xiàn)在我們面前的數(shù)學(xué)，通常只是些可視的、物態(tài)層面的內(nèi)容（諸如數(shù)字、符號、公式、結(jié)論等），但凝聚于這些物態(tài)層面的數(shù)學(xué)背后的，正是那些以數(shù)學(xué)家為代表的數(shù)學(xué)共同體成員在從事數(shù)學(xué)創(chuàng)造、研究、學(xué)習(xí)、思考時所特有的思維方式、行為準(zhǔn)則、精神氣質(zhì)、價值觀念以及人格特征等。

事實(shí)上，如此情形也并非僅僅出現(xiàn)在數(shù)學(xué)這一文化現(xiàn)象身上。任何一種文化，在其被創(chuàng)造的過程中，勢必都會凝聚其創(chuàng)造者（從更一般的角度看，則應(yīng)是創(chuàng)造者共同體）的觀念、態(tài)度、精神及氣質(zhì)，比如文學(xué)、藝術(shù)、歷史等。只是，不同的文化，在其被文化主體締造的過程中，所融入的思維方式、行為準(zhǔn)則、精神氣質(zhì)、價值觀念等不盡相同。比如，數(shù)學(xué)作為一種文化，其所折射出的精確、抽象、公理化的思維方式，務(wù)實(shí)求真的理性精神，不斷超越及自我否定的創(chuàng)新氣度，以及對簡潔、對稱、和諧、秩序等獨(dú)特美感的敏銳洞察，等等，卻是其他所有文化門類中所鮮有的。而這，正是數(shù)學(xué)所蘊(yùn)涵著的更為豐富、廣遠(yuǎn)的文化價值，也是我們的教學(xué)實(shí)踐在彰顯了數(shù)學(xué)的工具價值之后，更需著力開掘的文化寶藏。

三

明確了什么是數(shù)學(xué)文化，并探明數(shù)學(xué)文化的獨(dú)特價值后，作為文化的數(shù)學(xué)及其教學(xué)只是具有了實(shí)現(xiàn)的可能。實(shí)踐層面上，我們還需要著重并審慎提出的問題是，如何實(shí)現(xiàn)由“作為工具的數(shù)學(xué)”向“作為文化的數(shù)學(xué)”的切實(shí)轉(zhuǎn)變？這才是最核心的問題，并真正關(guān)乎實(shí)踐。

事實(shí)上，伴隨著新一輪課程改革，尤其是隨著課程標(biāo)準(zhǔn)對“數(shù)學(xué)是一種文化”的準(zhǔn)確表述，實(shí)踐層面對數(shù)學(xué)文化的探索十分密集，甚至曾一度達(dá)到“數(shù)學(xué)課堂言必稱文化”的境地。問題也隨之而來。

關(guān)于數(shù)學(xué)文化的探索與實(shí)踐，發(fā)端于數(shù)學(xué)史在教學(xué)中的介入。無疑，這是一種有益的嘗試。并且，由于數(shù)學(xué)史的介入給以“工具、推理、訓(xùn)練”為核心的數(shù)學(xué)課堂注入了活力，對數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的回顧也就改變、豐富了學(xué)生對數(shù)學(xué)的認(rèn)識。數(shù)學(xué)原來并非只是一堆無意義的符號、數(shù)字、公式的堆砌，并非只是孤僻的數(shù)學(xué)家們閉門造車、無端臆想的結(jié)果，數(shù)學(xué)原來也關(guān)乎人性與道德、精神。數(shù)學(xué)在其發(fā)展歷程中，也有著動人心魄的思想沖撞與對話。

當(dāng)然，所有這一切得以實(shí)現(xiàn)的前提是，數(shù)學(xué)史料并不只是作為一種外在于數(shù)學(xué)的“趣聞軼事”附加到課堂上。數(shù)學(xué)史料的展開、還原、解密等，是數(shù)學(xué)史料之文化價值得以最大化實(shí)現(xiàn)的重要策略。在此，筆者愿意援引席爭光老師“圓的周長”一課對數(shù)學(xué)史料的開掘作為例證，以說明上述問題。

通常，“祖沖之及其對圓周率研究至小數(shù)點(diǎn)后第七位”的史料，都會出現(xiàn)在本課教學(xué)中。但不同于其他教師簡單呈現(xiàn)數(shù)學(xué)史料的方法，席老師的處理別具一格——

師：早在2000多年以前我國的一本數(shù)學(xué)專著《周髀算經(jīng)》中就有“周三徑一”的記載，（播放課件）周三徑一，意思就是說，圓的周長總是直徑的3倍，我們得出的結(jié)論是——

生：圓的周長和直徑的比值是三點(diǎn)多。

師：很不簡單嘛！這個結(jié)論在當(dāng)時的生產(chǎn)生活中發(fā)生了巨大的作用。隨著生產(chǎn)生活的不斷進(jìn)步，這個結(jié)論已經(jīng)不能適應(yīng)生產(chǎn)生活的需要了。為此，我國的數(shù)學(xué)家又用了新的方法來研究，同學(xué)們想了解一下嗎？

生：想。

師：在這幅圖中都有哪些圖形？

生：圓和正6邊形。

師：觀察正6邊形的邊長和圓的半徑的長度，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：正6邊形的邊長和圓的半徑相等；正6邊形的周長是半徑的6倍、直徑的3倍；圓的周長比直徑的3倍多一些。

師：注意觀察，（課件演示：在圓內(nèi)接正6邊形的基礎(chǔ)上，出示圓內(nèi)接正12邊形）比較正12邊形和圓的周長，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：正12邊形的周長還是比圓的周長少，但比正六邊形更接近圓的周長。

師：接著觀察，（課件以類似方法呈現(xiàn)圓內(nèi)接正24邊形、正48邊形）你又有什么新發(fā)現(xiàn)？

生答略。

師：如果再等分，又會是多少邊形？

生：正96邊形、正192邊形……

師：就這樣一直分下去，你有什么思考?

生：越往下分，多邊形的周長就越接近圓的周長。正多邊形的周長和“直徑”的比值就越接近圓的周長和直徑的比值。

師：這正是1700年前我國偉大的數(shù)學(xué)家劉徽提出的用“割圓術(shù)”求圓的周長和直徑比值的方法。劉徽從正6邊形入手，計(jì)算到正1536邊形，得出圓的周長和直徑的比值是3.1416。繼劉徽之后，在南北朝時期，有一位偉大的數(shù)學(xué)家祖沖之，他更深入地進(jìn)行了圓周長和直徑比值的研究，并做出了杰出成就。現(xiàn)在我們一起來感受一下祖沖之研究的思路。在直徑3.3333米的圓里，祖沖之一直分割到正12288邊形，這時每條邊的長度是0.852毫米。祖沖之沒有停步，他繼續(xù)分割得到正24576邊形，這時每條邊的長度大約是0.4毫米，不足半毫米，用針尖一點(diǎn)，它的長度大約就是半毫米。此時，多邊形的周長和圓的周長相比會怎樣？

生：已經(jīng)非常接近。

生：幾乎就可以當(dāng)作圓的周長了。

生：這時求出的多邊形的周長和直徑的比值就會非常精確了。

師：同學(xué)們，祖沖之是我們民族的自豪和驕傲。正因?yàn)樽鏇_之的杰出成就，月球上有一座環(huán)形山命名為祖沖之山；宇宙中第1888號小行星也是以祖沖之的名字命名的。不過，圓的周長和直徑的比值的研究還遠(yuǎn)沒有結(jié)束。（課件播放近代圓周率的研究成果。教師板書：3.14159265358979323846……）

圓周率發(fā)展的歷史在這一刻得以生動還原。課堂上，學(xué)生獲得的不只是“原來如此”的感嘆，更重要的是，圓周率作為一個特定的數(shù)學(xué)知識，它是如何一步步真實(shí)發(fā)展起來的，在這一過程中，人類永不知足的探索精神、不斷超越的人性光輝又是如何發(fā)揮到極致的。對于學(xué)生精神生命的成長，這些無疑是一筆寶貴的資源。數(shù)學(xué)史，在這一意義上，才算是擔(dān)當(dāng)起其作為數(shù)學(xué)文化重要組成部分的責(zé)任和價值了。

然而，物極必反。對數(shù)學(xué)史料的過度關(guān)注，卻引發(fā)了新的質(zhì)疑和思考：能走進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的數(shù)學(xué)史料畢竟有限。更多日常的數(shù)學(xué)課堂里，離開了數(shù)學(xué)史料的點(diǎn)綴與鋪陳，數(shù)學(xué)還能否作為一種文化存在于我們的課堂？家常的、樸素的數(shù)學(xué)課堂里，數(shù)學(xué)的文化價值與氣度又該如何去實(shí)現(xiàn)？

我們不得不承認(rèn)，正是這樣的思考和質(zhì)疑，讓我們有可能重新停下腳步，去思考更具一般意義、更具日常滲透力的數(shù)學(xué)文化及其教學(xué)實(shí)踐路線。進(jìn)而得出如下的結(jié)論：有關(guān)數(shù)學(xué)文化的探討與實(shí)踐至此遠(yuǎn)沒有結(jié)束，甚至只是一個開始。對于博大精深的數(shù)學(xué)文化而言，數(shù)學(xué)史料充其量只是其不可或缺的組成部分，是一個引子。正如前文所述：數(shù)學(xué)作為一種文化，其所折射出的精確、抽象、公理化的思維方式，務(wù)實(shí)求真的理性精神，不斷超越及自我否定的創(chuàng)新氣度，以及對簡潔、對稱、和諧、秩序等獨(dú)特美感的敏銳洞察等，這些才是作為文化的數(shù)學(xué)所具備的文化價值的豐富內(nèi)涵。也正是在這樣的認(rèn)識背景下，如下的實(shí)踐與思考，似乎為數(shù)學(xué)文化今后的發(fā)展提供了新的線索。

比如，教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”時，當(dāng)所有學(xué)生通過所謂的“測量”，無一例外地得出三角形的內(nèi)角和都是180度時，你是否應(yīng)該懷疑，這一看似準(zhǔn)確的結(jié)論背后，似乎隱藏著一些有悖于數(shù)學(xué)“務(wù)真求實(shí)”精神的狀況？眾所周知，實(shí)驗(yàn)過程中誤差的存在是毋庸置疑的。并且，正是因?yàn)橛辛?78度、181度、179度……等多樣化且都接近180度的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，才為我們最終揭示“三角形的內(nèi)角和”奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。更重要的是，正視實(shí)驗(yàn)的誤差，正視數(shù)學(xué)探索過程中出現(xiàn)的任何看似存在“問題”的數(shù)據(jù)，這正是數(shù)學(xué)研究中必須遵守的游戲規(guī)則。否則，再“準(zhǔn)確”的結(jié)論，也是有悖于數(shù)學(xué)精神的。事實(shí)上，對學(xué)生而言，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)除了指向于數(shù)學(xué)事實(shí)的獲得，更應(yīng)該指向數(shù)學(xué)研究方法的掌握、數(shù)學(xué)研究品質(zhì)的生成。相對前者而言，后者可能是伴隨其一生的財(cái)富，也是學(xué)生在未來工作、生活中時時需要用到的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。

再比如，教學(xué)“加法交換律”時，為了說明猜想“任意兩數(shù)相加，交換它們的位置，和不變”成立，當(dāng)學(xué)生舉出的十幾個例子幾乎都局限在了“一位數(shù)加一位數(shù)”時，教師完全可以以一句“有了這么多例子，猜想能成立嗎”，順勢得出結(jié)論。然而，有位教師選擇了另一種思路：“例子真的是越多越好嗎？”“如果都是一位數(shù)加一位數(shù)的例子，舉出兩三個和舉出十幾個有多大區(qū)別？”“還能舉出不同的例子嗎？比如兩位數(shù)加三位數(shù)，分?jǐn)?shù)加分?jǐn)?shù)，0加一個數(shù)，等等。”“你覺得這樣的例子對于我們得出結(jié)論有什么作用？”一堂課下來，學(xué)生的思維顯然不再如最初般流暢。然而，正是在這位教師的課堂中，我們似乎讀到了超越于一般知識與技能的更高追求，那就是，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，還應(yīng)致力于幫助學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难芯糠绞健⒖b密的思維習(xí)慣，進(jìn)而在數(shù)學(xué)研究的過程中，獲得對數(shù)學(xué)方法論的初步熏陶。而這些，不同樣是數(shù)學(xué)文化價值的生動體現(xiàn)嗎？

類似的案例，我們一定還可以找出很多。在筆者看來，它們的價值在于向我們傳遞出了這樣的信號：數(shù)學(xué)史不是數(shù)學(xué)文化的全部，它其實(shí)就在我們身邊，就真真切切地彌散在我們每一天樸素的數(shù)學(xué)課堂上。只要用心去體會、去捕捉、去開啟，我們有理由相信，數(shù)學(xué)內(nèi)在的文化價值一定會得以釋放，并成為影響學(xué)生數(shù)學(xué)成長的重要精神源泉。(作者單位：江蘇省南京市北京東路小學(xué)）

□責(zé)任編輯 鄧園生

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