例談巧用數(shù)學(xué)反例

小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中經(jīng)常用到數(shù)學(xué)反例。所謂數(shù)學(xué)反例即是否定的數(shù)學(xué)例證。為了防止或否定學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)而列舉的一些數(shù)學(xué)事例。它是數(shù)學(xué)課堂上的“調(diào)節(jié)器”。運(yùn)用數(shù)學(xué)反例對(duì)學(xué)生的智力活動(dòng)能起定向糾錯(cuò)、提煉升華的作用，并維持?jǐn)?shù)學(xué)課堂教學(xué)按既定的路線進(jìn)行。現(xiàn)就學(xué)生在理解和運(yùn)用知識(shí)的過(guò)程中何時(shí)出示數(shù)學(xué)反例談幾點(diǎn)看法。

1 當(dāng)概念的內(nèi)涵比較豐富時(shí)要舉反例。

所謂內(nèi)涵比較豐富是指關(guān)于概念的本質(zhì)屬性比較多。小學(xué)生的感知不全面、不精細(xì)，理解這類知識(shí)時(shí)，可能因教師揭示其本質(zhì)的方式不當(dāng)致使學(xué)生常常丟掉了新知中部分本質(zhì)屬性，從而產(chǎn)生錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)。此時(shí)可舉反例，幫學(xué)生找回被丟掉的部分本質(zhì)屬性，獲得正確知識(shí)。例如，學(xué)習(xí)“等腰直角三角形，知識(shí)時(shí)，等腰直角三角形的本質(zhì)屬性較多，內(nèi)涵豐富，由“等腰”“直角”“三角形”三方面組成。一些學(xué)生學(xué)習(xí)后，不是丟了等腰，就是忘了直角，有的甚至丟了三角形三條邊“首尾相連”的性質(zhì)。此時(shí)要舉反例，如“直角”常為學(xué)生忽視，錯(cuò)把等腰三角形判定為等腰直角三角形，這時(shí)老師應(yīng)出示等腰直角三角形的正確圖形，引導(dǎo)學(xué)生在比較中再次認(rèn)識(shí)“直角”，否定錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)。另外“等腰”、“首尾相連”等性質(zhì)亦可如是強(qiáng)調(diào)。因此，當(dāng)學(xué)生對(duì)內(nèi)涵豐富的知識(shí)感知不全時(shí)可通過(guò)數(shù)學(xué)反例，突顯出所學(xué)知識(shí)中易為學(xué)生忽視的本質(zhì)屬性。促進(jìn)學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的全面認(rèn)識(shí)，深刻理解。

2 當(dāng)某一概念易向鄰近概念泛化時(shí)，要舉反例。

在數(shù)學(xué)的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，相近的或相互聯(lián)系的知識(shí)，學(xué)生容易發(fā)生混淆，在心理學(xué)上稱為“痕跡性錯(cuò)誤”，主要是因舊知識(shí)痕跡的影響而發(fā)生的錯(cuò)誤。概念泛化即指學(xué)習(xí)概念過(guò)程中痕跡錯(cuò)誤的發(fā)生過(guò)程。此時(shí)可通過(guò)舉反例否定學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，澄清相鄰概念的區(qū)別和聯(lián)系。如概念“整除”和“除盡”，內(nèi)涵相仿，都是表示除得的結(jié)果沒(méi)有余數(shù)，但整除的要求更嚴(yán)格；把除盡作為判定整除的條件，顯然是錯(cuò)誤的。為了防止錯(cuò)誤的產(chǎn)生，抑制概念的泛化，老師出了一道錯(cuò)誤的判斷題：2能被0.4整除，由錯(cuò)例得出整除的條件不單是余數(shù)為0.除數(shù)和商應(yīng)分別是整數(shù)和自然數(shù)，分清了概念的區(qū)別處。

3 當(dāng)練習(xí)中出現(xiàn)消極思維定勢(shì)時(shí)，要舉反例。

消極思維定勢(shì)指思維定勢(shì)在學(xué)習(xí)中的消極影響，表現(xiàn)為在定勢(shì)的防礙下學(xué)習(xí)者不易改變思維方向，而用既定的思路去解決已發(fā)生變更的問(wèn)題，以致解題錯(cuò)誤。此時(shí)可舉反例，打破消極定勢(shì)，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)質(zhì)上分析并解決問(wèn)題。

4 當(dāng)解題過(guò)程中被表面現(xiàn)象干擾時(shí)，要舉反例。

數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決是按照一定的思維對(duì)策進(jìn)行的一個(gè)思維過(guò)程，并一步步接近目標(biāo)，最終達(dá)到目標(biāo)。小學(xué)生看問(wèn)題常常被事物的表象所迷惑而干擾他們對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。此時(shí)可舉反例，排除干擾，揭示本質(zhì)。例如學(xué)習(xí)正比例知識(shí)時(shí)，學(xué)生抓不住其中“比值一定”的本質(zhì)，常把一些看來(lái)相似卻不屬于正比例的問(wèn)題當(dāng)作正比例問(wèn)題來(lái)解答。如有的學(xué)生看到松樹的年齡增大，它的高度也隨著增加，就毫不猶豫地把“松樹的高度和松樹的年齡”判定為正比例關(guān)系，

總之，數(shù)學(xué)反例是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中一個(gè)調(diào)節(jié)器。其功用旨在防錯(cuò)、糾錯(cuò)。至于它在課堂教學(xué)中更大的價(jià)值，還有待深挖細(xì)研。

責(zé)任編輯 楊 博