困惑與探索二：計算教學中算理與算法孰輕孰重？

●教師的話●

例談算理和算法的有效結合

魏紅（昆明市五華區璧光小學）：算理和算法是算術運算中相輔相成、密不可分的兩個方面。簡言之，算法就是計算方法，而算理則是計算的道理、依據，它們分別解決“怎樣算”和“為什么這樣算”的問題。在小學數學教學中，要根據學段的不同恰當處理好算理和算法的關系。如何使二者有機地結合起來呢？

1.算理與解決問題有效結合。新課程教學注重“算用”結合，給計算教學提供了具體的生活情境，因為只有在現實的情境中學生才會感到計算的價值和意義，計算才會成為解決問題的手段。例如，在這次研討活動中，有一位老師執教二年級“求比一個數少（多）幾的數”，較好地解決了上述問題，現擷取片段如下：

師（創設問題情境）：這是我們學校的“全校衛生評比統計圖”。同學們別小看這塊黑板，里面蘊藏著許多數學信息呢！你能數一數圖中二（2）班有幾面小紅旗嗎？

生：有12面。

師：二（1）班的紅旗數和二（2）班的一樣多，二（1）班有幾面小紅旗？

生：有12面。

（出示課件：樹叢遮住二（3）班的紅旗數一部分。）

師：我們要想知道二（3）班的紅旗數，怎么數？

生1：無法數。因為二（3）班的紅旗被樹叢遮住了一部分。

生2：不能用數的方法確定紅旗的面數。

師：你能根據圖中的數學信息，算出二（3）班的紅旗數嗎？

生：二（3）班比二（2）班少4面，用減法計算，12-4=8（面）。

師：你能根據給出的信息，算出二（4）班的紅旗數嗎？

生：二（4）班比二（2）班多4面，用加法計算，12+4=16（面）。

對于用一步計算解決的實際問題，課改前的數學教學大綱和教材要求學生用嚴密的數學思維進行推理。如上述案例用減法解決的道理是：求紅花比黃花多多少朵，說明紅花多。可以把紅花分成兩部分，一部分和黃花同樣多，另一部分是比黃花多的，從紅花的朵數中去掉和黃花同樣多的朵數，就是紅花比黃花多的朵數。這個推理過程常令許多學生對數學應用題望而卻步，教師也很苦惱。《數學課程標準（實驗稿）》強調，學生面對不同的實際問題，要根據生活經驗和對加、減、乘、除法意義的認識來確定解決的方法、策略。在上述片段中，學生根據已有的生活經驗及對統計圖的觀察，直觀地領悟到，只要從12里減去4，就可以知道比12面少4面是多少面；用12+4就可以知道比12面多4面是多少面。這樣，在老師引導下學生通過聯系主題圖，直觀明了地理解了抽象的算理，就能根據加、減法的意義很快列出算式。

2.算理直觀與算法抽象有效結合。在課程標準實驗教材中，“計算教學”步驟大致分為：情境導入——探索算法——比較提煉——明確算理——鞏固練習。我們在教學中應該如何處理算法和算理的關系？聽了這次研討活動中“分桃子——筆算兩位數除以一位數”的教學，我覺得教師在處理算理直觀與算法抽象的有效結合上，做得比較好。這節課突破難點的片段如下：

師：要把48個桃子平均分給2只猴子，每只猴子分到幾個呢？怎樣列式？

生：“平均分”要用除法算，列式是48÷2=24（個）。

師：你是怎樣思考的？

生1：先算40÷2=20，再算8÷2=4，20+4=24，所以48÷2=24（個）。

生2：我是用分小棒幫助算的。先把4捆小棒分成兩堆，就是4÷2=2（個十），再把拆散的8根小棒平均分成兩堆，就是8÷2=4（個），然后把兩次分的加起來，就是20+4=24（個）。

師：用豎式怎么計算呢？

（學生結合分小棒的過程，寫出豎式，并說出每步豎式的含義。）

師：把48個桃子平均分給3只小猴子，每只小猴子分幾個？

生：我是這樣列式，48÷3。

〔教師演示：把4籃桃子分給3只小猴，每只小猴分得1籃（10個），還剩下1籃，把這1籃倒出和余下的8個桃子合成18個桃子，再平均分給3只小猴子，每只分得6個，10+6=16（個）。〕

執教老師在演示中把剩余的一籃桃子倒出來，這一“倒”直觀地突破了本節課的難點，即十位上的余數與個位上的數合起來再平均分。接著，讓學生總結“除數是一位數的除法”的計算方法就水到渠成了。在這個案例中，老師注重了算理直觀與算法抽象的有效結合，讓學生在經歷分桃子的過程中，直觀地理解算理，并掌握了豎式的計算方法，學生學得輕松，理解透徹。

3.“理”與“法”不可分割。算理與算法從來都是一個不可分割的整體，我們很難想象純算理的課該如何演繹，純算法的課又該怎樣訓練。有經驗的教師總是在分析算理的同時滲透算法，并及時組織練習。如，這次研討活動中展示的“三位數乘兩位數”這節課的執教老師就很好地處理了“理”與“法”的結合。

教學片段如下：

師：114×21，用豎式怎么計算？

（學生各自練習后，指名一學生回答。）

師（指著豎式）：你先用1×114，是求什么？

生：運行一圈所用的時間。

師：再用20×114又是什么？

生：運行20圈所用的時間。

師：兩次的乘積加起來又是算什么？

生：21圈所用的時間。

師：2280表示什么？2394又表示什么？

……

教師把“理”和“法”有機結合起來，讓學生依次說出每一步計算的意義，說明學生對豎式計算的算理有了較明確的把握。

“購物”教學中算理和算法的處理

朱云會（昆明市宜良縣匡山小學）：理解算理和掌握算法是計算教學的兩個重點。學生明確了算理，掌握了算法，才能靈活、簡便地進行計算，算法的多樣化才有基礎。“購物”是義務教育課程標準實驗教材北師大版三年級上冊的內容，主要解決兩、三位數乘一位數（不進位）的筆算乘法。它是在口算百以內兩位數乘一位數的基礎上進行教學的。三年級學生理解算理比較困難，只有用直觀的教學手段才能把抽象的算理具體化。在教學中，我適當改變教材的情境圖，創設了“花果山的小猴子摘桃子”的情境，讓學生根據情境圖中的信息提出問題：“4只小猴一共摘了幾個桃子？”在學生列出算式12×4后，引導他們在獨立思考及與同伴交流的過程中，進一步探索兩、三位數乘一位數（不進位）的筆算方法。

要使學生會算，必須使他們明確怎樣算？為什么這樣算？如果直接告訴學生“應該怎樣算”，學生就失去了獨立思考和深層感悟的機會，導致學生知其然，而不知其所以然。所以我很重視學生初學乘法豎式時對12×4算理的理解。12×4可以怎樣算？有學生說用口算；有學生說用加法豎式算；也有學生說用乘法豎式算……我有意讓用乘法豎式算的學生板書，并讓他們說說是怎么算的。當學生對算理還含混不清時，我及時引導他們對照主題圖直觀理解算理。

師：4×2算的是圖上哪部分的桃子？

生：是籃子外的桃子。

師：有幾個2？

生：有4個2。

（引導學生看豎式。）

師：有4個2，所以先用4乘個位上的2得到8，寫在積的哪位上？為什么？

生：用4乘個位上的2得到的8，是8個一，所以要寫在個位上。

師：算完4乘2，還要算什么？

生：4乘十位上的1。

（引導學生看豎式。）

師：4個十可以這樣看，用4乘十位上的1，得到4個十，所以4要寫在積的十位上。

接著我再讓學生觀察、比較加法豎式與乘法豎式計算的相同點與不同點。通過比較，讓學生加深對算理的理解。理解了兩位數乘一位數豎式計算的算理后，學生算213×2就不再是機械模仿，做起來感覺很輕松。

理解算理的目的是讓學生更好地掌握計算方法。因此，在理解了乘法豎式計算的算理后，我讓學生獨立思考后在小組中討論交流，想一想：豎式計算乘法時要注意什么？引導學生用自己的話表述出來，體驗從直觀到抽象的數學化過程，強化對算理的理解和對算法的切實把握，促進了學生抽象思維能力的發展。

●專家觀點●

從“算理”和“算法”談起

王曉碧（昆明市盤龍區教科中心特級教師）：計算能力是小學生必備的基本技能之一。怎樣才能在新課程理念的指導下，引導學生在一定的情境中理解算理，掌握算法，建立數學模型呢？《數學課程標準（實驗稿）》在學段目標中要求學生“掌握必要的運算（包括估算）技能”，在內容標準中又提出“應減少單純的技能訓練，避免繁雜的計算和程式化地敘述‘算理’”。但在教學實踐中，不少教師對“課標”的理解、對“算理”和“算法”的處理，存在著一定的偏差，不是單純地講“算理”，缺乏“算法”的提煉（建立數學模型），就是用“算法”講“算法”，忽視算理的教學（建模過程）。怎樣根據學生的認知規律，在教學中處理好“算理”與“算法”的關系，幫助學生有效地建立數學模型，逐步形成技能呢？

1.弄清概念，提高認識。“算理”和“算法”是兩個不同的概念。何謂算理？算理就是計算的依據、道理，它主要回答“為什么這樣算”。算理一般由數學概念、運算規律、運算性質等構成。什么是算法呢？算法是計算的基本程序或方法，主要解決“怎樣計算”。由此看出，算理是計算的理論依據，而算法則是依據算理提煉出來的計算規律和方法，它是算理的具體體現。

2.突出算理，做好孕伏。從心理學的角度來看，學生的數學學習是一個不斷探究、不斷提高思維能力的過程。對算理的表述，是學生數學思維活動的外顯形式，它能及時反饋學生在計算時的依據是否正確，它有利于老師對信息的捕捉和利用，教師可根據教學進程調控課堂節奏和變更教學方法，有效促進學生思維的發展。從學習計算幫助學生建模的角度來講，“創設情境、提出問題——實踐感悟、理解算理——抽象概括、提煉算法——解釋應用、適時拓展”這幾個環節缺一不可。從處理“算理”和“算法”的關系來講，二者不可截然分開，更不應偏廢某一方面。

請看此次研討活動中郭嫻老師執教的義務教育課程標準實驗教材北師大版三年級上冊“去游樂場”教學片段。

在“探究新知”階段，教師用課件出示主題圖，引導學生觀察、發現并提出數學問題。教師鼓勵學生用自己喜歡的方法列式算一算。

師：講一講你是怎樣算的？

生1：先用4去乘6，得24，進2在個位上寫4。再用4去乘1，得4，2和4合并得6，在十位上寫6。

（生2、生3的算法同上。）

教師引導比較三個學生算式的異同，然后總結算法。

這一片段的教學重點是理解“個位滿幾十，（為什么）向十位進幾”。教師所欠缺的就是讓學生理解算理。學生用算法講“算法”，算法的依據是什么，不一定清楚，必然是知其然，而不知其所以然。此時，教師只要有意識地引導學生運用“遷移”規律，把著力點放在理解為什么“個位滿幾十，要向十位進幾”的道理，就能使學生不僅知其然，而且知其所以然。

3.實踐感悟，突破難點。學生對算理的理解不應是空洞的、抽象的或是機械的記憶，而應在一定的情境中，結合具體問題（算式）進行理解，要充分利用實物演示（或操作），讓學生在直觀、生動、形象、具體的學習情境中感悟、理解算理。

下面是此次研討活動中曹春老師執教的義務教育課程標準實驗教科書北師大版數學三年級上冊“分桃子”教學片段。

（教師用課件創設“分桃子”的情境，引導學生探究，列出算式并口算，在此基礎上展開下面的教學。）

設疑引新

師：用豎式怎樣計算？請試一試。

學生反饋：

教師借助多媒體邊演示，邊板書，邊講算理。

拓展新知

課件出示：3只小猴平均分48個桃子（每筐10個，共4筐，筐外還有8個）。每只小猴平均分得幾個？

教師利用多媒體課件演示分法：

（1）先把4筐平均分給3只小猴，每只小猴分得1筐（10個），還剩下1筐（10個）；

（2）將1筐（10個）桃子倒出來與8個合并起來（18個），再平均分給3只小猴，每只小猴剛好分得6個。

〔配合板書（略）講算理。〕

學生用小棒擺3只小猴平均分48個桃子的過程（略），進一步理解算理。

在這個教學片段中，教師充分利用課件，生動、直觀地把抽象的算理具體化，特別是將“48÷3”中“18從何而來”這一難點，用“把1個十（1筐桃子）變成10個一（把1筐桃子倒出來），再與8個一合并起來”的方法，形象生動地講清楚了。讓學生在經歷建立數學模型的過程中有效地理解了抽象的算理。

4.及時抽象，有效建模。在計算教學中，我們既不能只追求算法而不講算理，也不能只講算理而不講算法。應該在講解算理時適時、適度、抽象、提煉算法，有效建模。

（1）適時。就是把握抽象提煉的“火候”。什么時候進行抽象提煉最恰當，要根據知識的難易程度及學生的學習狀況而定。一般情況下，要經過2~3個實例的充分分析及“孕伏”。時機還未成熟就過早地抽象、提煉，學生對“算理”是“悟不透”的。

（2）適度。所謂“適度”，一是抽象、提煉算法時，不要以教師的講解代替學生的思維，要引導學生在感悟、理解算理的基礎上自己總結算法；二是不能讓學生機械、呆板地背誦法則，應讓學生在實踐中應用，逐步達到一定的熟練程度。

5.順應發展，體現規律。“課標”對不同學段計算的要求是不相同的。我們應根據各學段學生在學習過程中的認知水平和思維特點，選擇恰當的方法。例如，在一年級可用擺學具的方法幫助學生“感悟”算理，在二、三年級可以借助直觀演示（操作）的手段讓學生理解算理，但“直觀”的成分應逐步減少，要引導學生逐步擺脫對具體形象的依賴，在經歷數學化的過程中，不斷提高思維的水平，學會抽象地思考問題。在第二學段的教學中，教師就應該順應學生的思維發展，憑借“遷移”規律或“轉化”思想，引導學生在已有生活經驗和知識的基礎上，學會抽象地思考問題，不斷提高思維的水平。